三角函数知识点归纳.doc

该【三角函数知识点归纳 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【三角函数知识点归纳 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。..
三角函数
一、随意角、弧度制及随意角的三角函数

(1)角的观点的推行
①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.
正角:按逆时针方向旋转形成的角
随意角负角:按顺时针方向旋转形成的角
零角:不作任何旋转形成的角
②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.
角的极点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
为第几象限角.
第一象限角的会合为
k
360
k
360
90,k
第二象限角的会合为
k
360
90
k360
180,k
第三象限角的会合为
k
360
180
k
360
270,k
第四象限角的会合为
k
360
270
k360
360,k
终边在x轴上的角的会合为
k
180,k
终边在y轴上的角的会合为
k
18090,k
终边在座标轴上的角的会合为
k
90,k
(2)终边与角α同样的角可写成
α+k·360k∈°(Z).终边与角同样的角的会合为
k360
,k
(3)弧度制
①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1弧度的角.
②弧度与角度的换算:360
°=弧2π度;180°=弧π度.
③半径为r的圆的圆心角
所对弧的长为l,则角
的弧度数的绝对值是
l
r
④若扇形的圆心角为
为弧度制,半径为r
,弧长为l,周长为C,面积为S,则lr
,
C2rl,S
1lr
1
r2.
2
2

设
是一个随意角,角
的终边上随意一点
(,
),它与原点的距离为
rrx
2
y
2
,那么角α的正弦、余弦、
α
α
Pxy
.word可编写.
..
y
x
y
正切分别是:sinα=,cosα=
,tanα=.(三角函数值在各象限的符号规律归纳为
:一全正、二正弦、
r
r
x
三正切、四余弦)

角度
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
360
函数
角a的弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
2π
sina
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
0
cosa
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
0
1
tana
0
√3/3
1
√3
-√3
-1
-√3/3
0
0
二、同角三角函数的基本关系与引诱公式


(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;(在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号)
sinα
(2)商数关系:=tanα.(3)倒数关系:tancot1cosα

公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cos_α,tan(
2k)
tan
此中k∈Z.
公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan
α.
公式三:sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cos_α,tan
tan.
α
α
α
αtan
tan.
公式四:sin(-)=-sin_,cos(-)=cos_
,
公式五:sin
π
π
-α=cos_α,cos
-α=sinα.
2
2
π
π
公式六:sin
+α=cos_α,cos
+α=-sin_α.
2
2
π
π
引诱公式可归纳为
k·±α的各三角函数值的化简公式
.口诀:奇变偶不变,、偶是指
的奇数
2
2
倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化
.假如奇数倍,则函数名称要变
(正弦变余弦,余弦变正弦);假如偶数
.word可编写.
..
π
倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把α当作锐角时,依据k·
三角函数值的符号,最后作
....
±α在哪个象限判断原...
2
为结果符号.

一个口诀
1、引诱公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限.
2、四种方法
在求值与化简时,常用方法有:
sinα
(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=化成正、余弦.
cosα
(2)和积变换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转变.
(sin
cos、sin
cos、sincos
三个式子知一可求二)
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=sin
π
2
=tan
4
(4)齐次式化切法:已知tan
k,则asin
bcos
atan
b
ak
b
msin
ncos
mtan
n
mk
n
三、三角函数的图像与性质
学习目标:
1会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期:定义法,公式法,图像法(如ysinx与ycosx的周期是)。
会判断三角函数奇偶性
会求三角函数单一区间
知道三角函数图像的对称中心,对称轴
6知道yAsin(x),yAcos(x),yAtan(x)的简单性质
(一)知识重点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数ysinx和余弦函数ycosx图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别
.word可编写.
..
为0,
,,3,2的五点,再用圆滑的曲线把这五点连结起来
,就获得正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
22
y=sinx

y
-5
-
1
3
2
2
-7-3
-3
2
o
5
3
-4
-2
-
-1
2
2
2
2
2
y=cosx
y
-3
-5
-
-2
1
3
3
2
-2
o
2
-4
-7
-3
-1
2
5
2
2
2
2
2、正弦函数ysinx(x
R)、余弦函数y
cosx(x
R)的性质:
(1)定义域:都是R。
(2)值域:都是
1,1,
对y
sinx,当x
2k
k
Z
时,y取最大值
1;当x
2k
2
对y
cosx,当x
2k
k
Z
时,y取最大值
1,当x
2k
(3)周期性:y
sinx,y
cosx的最小正周期都是2
;
(4)奇偶性与对称性:

7
2
x
7
2
x
3
kZ时,y取最小值-1;
2
kZ时,y取最小值-1。
①正弦函数y
sinx(x
R)是奇函数,对称中心是
k,0k
Z
,对称轴是直线
xk
k
Z
;
2
②余弦函数y
cosx(x
R)是偶函数,对称中心是
k
,0
k
Z,对称轴是直线xk
k
Z
;(正(余)
2
弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
x轴的直线,对称中心为图象与
x轴的交点)。
(5)单一性:
y
sinx在
2k
,
2k
k
Z
上单一递加,在
2k,3
2k
kZ单一递减;
2
2
2
2
y
cosx在
2k
,2k
k
Z
上单一递加,在
2k
,2k
k
Z
上单一递减。特别提示,别忘了
k
Z!
3、正切函数y
tanx的图象和性质:
(1)定义域:{x|x
k
,k
Z}。
2
(2)值域是R,无最大值也无最小值
;
(3)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是
k,0
k
Z,特别提示:正(余)切型函数的对称中心有两类
:一
2
类是图象与x轴的交点,另一类是渐近线与
x轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不一样之处
。
(4)单一性:正切函数在开区间
2
k
,
k
k
Z内都是增函数
。但要注意在整个定义域上不拥有单一
2
.word可编写.
..
性。
4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
函
性数ysinxycosxytanx
质
图象
定义域
R
R
值域
1,1
1,1
当
x
2k
k
当x
2kk
时,
2
时
,
ymax1
;
当
ymax
1;当x
2k
最值
x
2k
2
k
时,ymin
1.
k
时,ymin
1.
周期性
2
2
奇偶性
奇函数
偶函数
在
2k
,2k
2
2
在2k
,2k
k
上是
k
上是增函数;在
单一性
增函数;在2k
,2k
2k
3
,2k
2
k
上是减函数.
2
k
上是减函数.
对称中心k,0
k
对称中心k
,0
k
对称性
2
对称轴xk
k
2
对称轴xkk
5、研究函数yAsin(x)性质的方法:类比于研究ysinx的性质,只要将
成ysinx中的x。

xxk,k
2
R
既无最大值也无最小值
奇函数
在k,k
22
上是增函数.
对称中心k,0k
2
无对称轴
yAsin(x)中的x看
.word可编写.
..
函数y=Asin(x+)(A>0,>0)的性质。
1)定义域:R
2)值域:[-A,A]
(3)周期性:T
2
|
|
①f(x)
Asin(
x
)和f(x)Acos(
x
)的最小正周期都是
2
。
T
|
|
②f(x)
Atan(
x
)的最小正周期都是
T
。
||
(4)单一性:函数y=Asin(x+)(A>0,
>0)的
单一增区间可由
2k
-
≤x+≤2k
+
2
,k∈z解得;
2
单一减区间可由
2k
+
≤x+≤2k
+3
,k∈z解得。
2
2
在求yAsin(
x
)的单一区间时,要特别注意A和的符号,经过引诱公式先将
化正。
如函数y
sin(
2x
3
)的递减区间是______
(答:
分析:y=,因此求y的递减区间即是求
的递加区间,由得
,因此y的递减区间是
四、函数yAsinx的图像和三角函数模型的简单应用
一、
知识重点
1、几个物理量:
①振幅:
;②周期:
2
;③频次:f
1
;
④相位:
x;⑤初相:
2
.
2、函数y
Asin(
x
)表达式确实定:A由最值确立;
由周期确立;
由图象上的特别点确立.
函数y
sin
x
,当x
x1时,获得最小值为ymin
;当xx2
时,获得最大值为ymax,则
1
ymaxymin
1
ymin
x2x1
x1x2
2
ymax
,
2
,2
.
3、函数y
Asin(
x
)图象的画法:①“五点法”――设X
x
,令X=0,
,
,3,2
求出相应的x值,
2
2
.word可编写.
..
计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
4、函数y=sinx的图象经变换可获得yAsinx>0的图象
左(右)
y
sinx
纵坐标
伸(缩)A倍
横坐标
sin
x
平移
y
伸(缩)1倍
纵坐标
y
Asin
左(右)
x
伸(缩)A倍
平移
横坐标
y
sinx
纵坐标
伸(缩)1倍
伸(缩)A倍
左(右)y
yAsinx
y=sinx
sin
x
纵坐标
横坐标
y=sinx
平移
伸(缩)A倍y
Asinx
伸(缩)
倍
横坐标
y
Asinx
左(右)
纵坐标
Asinx
伸(缩)1
倍
平移
y
伸(缩)A倍
y=sinx
左(右)
y
Asinx
横坐标
平移
伸(缩)1
倍
5、函数y
Asin(
x
)
b的图象与y
sinx图象间的关系
:①函数ysinx的图象向左(
>0)或向右
(<0)平移|
|个单位得
ysinx
的图象;②函数y
sinx
图象的纵坐标不变
,横坐标变成本来的
1,获得函数y
sin
x
的图象;③函数y
sin
x
图象的横坐标不变,纵坐标变成本来的
A倍,获得
函数y
Asin(
x
)的图象;④函数y
Asin(
x
)图象向上(b
0)或向下(b
0
)平移|b|个单位,得
到y
Asin
x
b的图象。
要特别注意,若由y
sin
x获得y
sin
x
的图象,则向左或向右平移应平移
|
|个单位,
如要获得函数y=sin(2x-
π
)的图象,只要将函数y=sin2x的图象(
)
3
(A)向左平移
π
(B)向右平移
π
3
个单位
个单位
3
(C)向左平移
π
(D)向右平移
π
个单位
个单位
6
6
.word可编写.
..
6、函数y=Acos(x+)和y=Atan(x+)的性质和图象的变换与y=Asin(x+)近似。
三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴cos
cos
cossin
sin
;⑵cos
cos
cos
sin
sin
⑶sin
sin
cos
cos
sin
;⑷sin
sin
cos
cos
sin
⑸tan
tan
tan
(tan
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
⑹tan
tan
tan
(tan
tan
tan
1
tan
tan
1
tan
tan
如tan20o
tan40o
3tan20o
tan40o
;

;
;
);
).
(答案:3)
2、二倍角的正弦
、余弦和正切公式:
⑴sin2
2sin
cos
.
1sin2
sin2
cos2
2sin
cos
(sin
cos)2
5π
π
+cos
5π
π
5
如cos2
+cos2
cos的值等于
;
(答案:
)
12
12
12
12
4
⑵cos2
cos2
sin2
2cos2
1
1
2sin2
升幂公式1cos2
2cos2
,1
cos2
2sin2
降幂公式cos2
1
cos2
,sin2
1
cos2
.
2
2
⑶tan2
2tan
.
1tan2
3、二弦归一
把两个三角函数的和或差化为一个三角函数
:asin
bcos
a2
b2sin
,此中tan
b.
a
4、三角变换时运算化简的过程中运用许多的变换
,灵巧运用三角公式,掌握运算化简的方法
.常用的方法技巧如
下:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中常常出现许多的异角
,可依据角与角之间的和差
,倍半,互
补,互余的关系,找寻条件与结论中角的关系
,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如:
①2
是
的二倍;4
是2
的二倍;
是
的二倍;
是
的二倍;
2
2
4
②15o
45o
30o
60o
45o;问:sin
12
;cos
12
;
.word可编写.
..
③
(
)
;④
4
2
(
);⑤2
(
)
(
)
(
)(
4
);等等.
4
4
如[1]
tan
2,tan
4
1,则tan
4
.
(答案:3
)
5
4
22
4
4
π
3π
[2]若cos(α+β)=
,cos(α-β)=-
,且
<α-β<π,
2
<α+β<2π,则cos2α=_____,cos2β=_____.
5
5
2
(答案:-
7
,-1)
25
sin
cos
1,tan
2
则tan
2
;
(答案:
[3]已知
cos2
,
1
1
3
)
8
(2)函数名称变换
:三角变形中,经常需要变函数名称为同名函数
。如在三角函数中正余弦是基础
,往常化切为
弦,变异名为同名(二弦归一)。
如sin50o(1
3tan10o)
;
o
o
2
1cos10o
3sin10o
o
o
o
o
o
2
2
2sin30
10
分析:原式=sin50ocos10
3sin10
sin50o
sin50o
2sin40cos40
sin80
1
cos10o
cos10o
cos10o
cos10o
cos10o
cos10o
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转变成三角函数值
,比如常数“1”的代换变形有:
1
sin2
cos2
sin90o
tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换经常用方法
,对次数较高的三角函数式
,一般采纳降幂办理的方法
。常用降幂公式
有:
;
。有时需要升幂,常用升幂公式
有:
;
.如对无理式
1
cos
常用升幂化为有理式.
(5)公式变形:三角公式是变换的依照
,应娴熟掌握三角公式的顺用
,逆用及变形应用。
如:cos
cos
sin
sin
=____________;sin
cos
cos
sin
=____________;
tan
tan
____________;1
tan
tan
___________;
tan
tan
____________;1
tan
tan
___________;
sin
cos
____________;2sin
cos
____________;
2
2
cos2
sin2
____________;2cos2
1
____________;2sin2
1
____________;
1cos
;1
cos
;
.word可编写.
..
2tan
;1tan2
;
asinbcos
;(此中tan
;)
(6)三角函数式的化简运算基本规则
:复角化单角,异角化同角,见切化弦,二弦归一,高次化低次,特别值与特
殊角的三角函数互化。
.word可编写.