实数知识点及易错题型.docx

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〔1〕算术平方根的定义:一个正数x的平方等于a,即_____,那么
这个正数x就叫做a的的算术平方根是_____。
2〕平方根的定义:假如一个数x的平方等于a,即_____,那么这个数x就叫做a的_______。
3〕平方根的性质:一个正数有_____个平方根,它们________;0只有_____个平方根,它是_____;负数_____平方根。
4〕开平方:求一个数a的________的运算,叫做开平方。
立方根
1〕立方根的定义:假如一个数x的_____等于a,即_____,那么这个数x就叫做a的立方根。
2〕立方根的性质:每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____;0的立方根是_____;负数的立方根是_____。
3〕开立方:求一个数a的________的运算叫做开立方。
实数
1〕无理数的定义:无穷不循环小数叫做_____。
2〕实数的定义:_____和_____统称实数。
3〕实数的分类:①按定义分:________________________;②按性质分:________________________。
4〕实数与数轴上的点的对应关系:_____与数轴上的点是_____对
应的。
5〕相关看法:在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有
理数范围内的意义_____。
实数的运算:
1〕实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______相同,并且有理数的运算律对__________依旧适用。
2〕两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根,算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根,用式子表示为
__________;__________。
二、考点例析
考点1平方根、立方根的定义与性质
例1〔1〕以下各数能否有平方根假设有,求出其平方根;假设没有,说
明原由。
625②〔-2〕2③〔-1〕3
2〕以下各数能否有立方根假设有,求出其立方根。
1②-343③-22
27
解析:〔1〕要判断一个对象有无平方根,第一要对这个对象进行转变,直到能看出它的符号,而后依照平方根的性质进行判断。
2〕由于正数、0、负数均有立方根,因此所给各数都有立方根。
解:〔1〕①由于625>0,故其平方根有两个,即±
625=±25;②
由于〔-2〕2=4>0,故其平方根有两个,即±
2
(2)=±2;
3
③由于〔-1〕=-1<0,故其不存在平方根。
①3
1
1
;
②3
3437;
27
3
③-22的立方根3
4。
明:只有非数才有平方根,一点同学必定要坚固掌握。
考点2数的分与性
例2以下各数中:
-1,
7,,-π,10,-34,0,,
38,16,2.⋯
4
3
此中有理数有__________________________;
无理数有__________________________。
解析:于3
8
、16等先化再判断。
解:有理数:-
1,,0,,38,
16
4
无理数有:
7
,-π,10,-3
4,2.⋯⋯
3
明:本考有理数和无理数的看法,要正确判断一个数属于哪一,理解各数的意是关。
例321的相反数是;11的是;-
81
的倒数是。
121
解析:假如a表示一个正数,那么-a就表示一个数,a与-
a相互反数;0的相反数依旧是0。一个正数的是
它自己;一个数的是它的相反数,0的是0。
非零数a的倒数是1。
a
解:2
1的相反数是1-
2;
11的绝对值是
11;-
81=
121
-9,因此-
81的倒数是-11。
11
121
9
说明:解决此问题要牢记实数的性质,实数范围内一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义是相同的。
考点3实数的运算
例4〔1〕计算:3

19
172
82
3
1
16
125
〔2〕化简
8
2(2
2)得〔
〕
〔A〕-2
〔B〕22
〔C〕2
〔D〕422
解析:有理数的运算法那么、性质、运算律等在实数范围内依旧适用,
本例依据运算序次直接计算即可。
〔1〕=×5
225
(1)=
1
5
15(
5)
1
75751
;
4
5
5
4
4
4
〔2〕8
2(22)
822222222=-2。故
选〔A〕。
说明:在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和开方运算,运算序次依旧是从高级到初级。值得注意的是,在进行开方运算时,正
实数和零可以开任何次方,负实数能开奇次方,但不可以开偶次方。
考点4非负数
例5x,y为实数,且x13(y2)20,那么xy的值
为〔〕.
〔A〕3〔B〕-3〔C〕1〔D〕-1
解析:此题主要观察非负数的性质及其应用,非负数,即不是负数,也即正数和零,常有的非负数主要有三种:实数的绝对值、实数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个特别重要的性质:
假设干个非负数的和为0,这几个非负数均为零。利用这个性质可解此题,
解:由题意,得x10,y20,即x1,y2,因此
y1。应选〔D〕。
说明:非负数是中考常考的知识点,同学们应从其意义下手,理解并
掌握它。
考点5数形结合题
例6实数a、b在数轴上的地址以以下图:试化简:|a-b|
-|a+b|
解析:要化简|a-b|-|a+b|,需依据数轴上
a、b的地址判断
a-b和a+b的符号。
0
a
b
解:由于a>0,b<0,且∣a∣<∣b∣,因此
a-b>0,a+b<0,
因此原式=〔a-b〕+〔a+b〕=a-b+a+b=2a
说明:数形结合是解决数学问题常用的思想方法,解题时一定经过所
给图形抓住相关数的信息。
考点6研究题
例7阅读以下解题过程:
1
1
5
4
5
4
5
4
2
2
54545454
1
1
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
6
5
2
2
6
5
请答复以下问题:
〔1〕、观察上边的解题过程,请直接写出式子:

1
nn1
2
2〕、利用上边所供给的解法,请化简:
1
1
1
1
L
1
2
1
3
2
4
3
5
10
9
4
解析:经过阅读解题过程不难发现,
每个式子的结果都等于分母中两
个式子的差。
解:〔1〕
1
n
1
n。
n
n
1
=21
3
2
4
3
5
4
10
9=101。
说明:这种题目需要我们认真观察及思虑,研究此中的规律,找寻解决问题的门路。
三、易错点例析
1、对平方根、算术平方根、立方根的看法与性质理解不透
理解不透平方根、算术平方根、立方根的看法与性质,常常出现以下错误:求一个正数的平方根时,遗漏此中一个,而求立方根
时,又多写一个;求算术平方根时前面加上“〞成了平方根等等。
例1〔1〕求61的平方根〔2〕求81的算术平方根
4
错解:〔1〕61
25
5
;〔2〕
81的算术平方根是
9
4
4
2
错解解析:错解〔
1〕中混淆了平方根和算术平方根;错解〔
2〕中
81=9,81的算术平方根实际上是
9的算术平方根,而9
的算术
平方根是3。
正确解法:〔1〕
1
25
5
6
2
81
的算术平方根
4
2
;〔〕
4
是3。
例2求64与-27的立方根。
错解:64的立方根是±4,-27没有立方根。
错解解析:64的立方根是4,只有一个,以为64的立方根有两个且
互为相反数,是与正数的平方根相混淆;-

27的立方根
是-3,错误地以为-

27没有立方根是与负数没有平方根
相混淆。
正确解法:由于

43=64,因此

64的立方根是

4。由于〔-

3〕3=-27,
因此-27的立方根是-3。
2、忽视平方根成立的条件
只有非负数才能开平方,这一条件解题时常常被我们忽视。
例3当m取何值时,
m2有意义
错解:无论m取何值时,
m2都无心义。
错解解析:考虑不全,遗漏了
m=0时的状况。
正确解法:当m=0时,-m2=0,此时
m2有意义。
3、实数分类时只看表面形式
对实数进行分类不可以只看表面形式,应先化简,再依据结果去判断。
例4以下各数-2、
、、-
9、35、〔-
7〕
2、1
、38中
3
5
无理数有
.
错解:无理数有
、-
9、3
5、〔-
7〕2、38。
3
错解解析:这种错误以为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先
化简,-
9=-3,〔-
7〕2=7,38=2,因此它们是有
理数。
正确解法:无理数有
、35。
3
4、运算错误
在进行实数的运算时要注意运算法那么与公式的正确应用,千万不要忽视公式的应用条件。
例5
化简〔1〕5
a
9a
〔2〕(9)
(25)
错解:〔1〕5
a
9a=5
a
3
a=2;
〔2〕
(9)
(25)
=(
9)
(25)=〔-3〕×〔-5〕=15
错解解析:〔
1〕中合并同类二次根式时抛弃了
a从而出错;〔
2〕
中忽视了公式
ab
a
b的应用条件,即a≥0,b≥0,
由于负数没有平方根,固然最后结果正确,但解法是错误的。
〔2〕(9)(25)=925=925=3×5=15。正确解法:
〔1〕5a9a=5a3a=2a;