巧解排列组合的21种模型.docx

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排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握实践证明,掌握题型和识别模式,并熟练运用,.
相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且3在A的右边,那么不同的排法种数有
A、60种E、48种C、36种D、24种
解析:把人0视为一人,且3固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,人4=24种,答案:D.
4
相离问题插空卿乍:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是
A、1440种E、3600种C、4820种D、4800种
解析:除甲乙外,其余5个排列数为人5种,再用甲乙去插6个空位有
5
A2种,不同的排法种数是A5A2=3600种,选B.
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2
1
定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
,B,C,D,E五人并排站成一排,如果3必须站在A的右边
(A,B可以不相邻)那么不同的排法种数是
A、24种E、60种C、90种D、120种
解析:3在A的右边与3在A的左边排法数相同,所以题设的排法只
1
是5个元素全排列数的一半,即牙念=60种,选E.
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标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成
,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A、6种E、9种C、11种D、23种
解析:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3X3X1=9种填法,选3.
有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组,可用逐步下量分组法.
例5.(1)有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,
2
1
从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法种数是
A、1260种E、2025种C、2520种D、5040种
解析:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C2CiCi=2520种,选c.
1087
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案有
A、C4d4种E、3C4d4种C、C4C4A3种D、
128412841283
CW4
—_8_^种
A3
3
答案:A.
全员分配问题分组法:
例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去,每所学校至少去一名,则不同的保送方案有多少种?
解析:把四名学生分成3组有C2种方法,再把三组学生分配到三所学
4
校有A3种,故共有C2A3=36种方法.
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说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
(2)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的
分法种数为
2
3
A、480种E、240种C、120种D、96种
答案:B.
名额分配问题隔板法:
,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?
解析:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C6=84种.
9
限制条件的分配问题分类法:
例&某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
解析:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
①若甲乙都不参加,则有派遣方案人4种;②若甲参加而乙不参加,先
8
安排甲有3种方法,然后安排其余学生有4方法,所以共有34;③若乙
88
参加而甲不参加同理也有3A3种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7
8
种方法,然后再安排其余8人到另外两个城市有人2种,
88
以共有不同的派遣方法总数为A4+3A3+3A3+7A2=4088种.
2
3
8888
多元问题分类法:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求分成
不相容的几类情况分别计数,最后总计.
例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种E、300种C、464种D、600种
解析:按题意,个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况,分另U有人5、A1A1A3,A1A1A3,
5433333
AiAiAs和如人3个,合并总计300个,选3.
23333
从1,2,3-,100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
解析:被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A={7,14,21,…聚}共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做dA={l,2,3,4,---JOO}共有86个元素;由此可知,从A中任取2个元素的取法有C2,从A中任取一个,又从中任取一个共有OC1,两种
14I1486
情形共符合要求的取法有C2+C1C1=1295种.
141486
从1,2,3,100这100个数中任取两个数,使其和能被4
整除的取法(不计顺序)有多少种?
#
3
解析:将/={1,2,3•••,100}分成四个不相交的子集,能被4整除的数集4={4,8,12,…口。};能被4除余1的数集B={1,5,9,…切},能被4除余2的数集C={2,6,…,98},能被4除余3的数集D={3,7,11,…99),易见这四个集合中每一个有25个元素;从A中任取两个数符合要;从中各取一个数也符合要求;从C中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有C2+CiCi+C2种.
25252525
交叉问题集合法:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(AU3)=n(A)+n(B)-n(APlB).
,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方案?
解析:设全集二{6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
〃(/)—zi(A)—〃(_B)+zi(AcE)——A^>—A3+=252种.
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定位问题优先法:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
解析:老师在中间三个位置上选一个有如种,4名同学在其余4个位
3
置上有如种方法;所以共有A1A4=72种.
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多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理.
例12.(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是
A、36种E、120种C、720种D、1440种
解析:前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共人6二720
6
种,选C.
(2)8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素排在后排,有多少种不同排法?
解析:看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有人2种,
4
某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有如种,其余5个元素任排5
4个位置上有人5种,故共有A1A2A5=5760种排法.
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“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.
,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有