八年级数学下册第十六章分式知识点总结.pdf

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x212x1x31x2
1、分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含
例:使分式x有意义的的取值范围为(
A7x
有字母,那么式子叫做分式。x2
B
)2 2 2 2
2、判断分式的依据:
x2
159a5ab例8:分式无意义,则x的值为(
例:下列式子中,、8a2b、-、、(x1)(x3)
xy232xy
22)
3ab、2-2、1、5xy
.-1或-3C.-
2
11x13xy31三、分式的值为零:
、、、、、a中分式的个
x22xym
使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子
数为()
等于0时,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,
A、2B、3C、4D、5
那么要舍去。
练习题:(1)下列式子中,2a
例1:当x时,分式的值为0.
2a1
5a2
(1)2x7;⑵x1;⑶;⑷xx2;
x21
x523a例2:当x时,分式的值为0.
x1
2xy3
b7xy
⑸2;⑹.2x2y2(7)a2
b8y例3:如果分式的值为零,则a的值为()
(8)(9)a2
3A..-2D..以上全不对
x24
x2x
例4:能使分式的值为零的所有x的值是(
二、分式有意义的条件是分母不为零;【B≠0】x21
分式没有意义的条件是分母等于零;【B=0】)
分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0
=-=0或x=0或x1
即子零母不零】2
例5:要使分式x9的值为0,则x的值为(
2
:(x21≠0)x5x6
)-.-3D2
1
例1:当x时,分式有意义;
x5a
2x1例6:若10,则a是()
例2:分式中,当x____时,分式没有意义a
2x

例3:当x时,分式有意义。
x21
x21
x例9:当X=时,分式的值为零。
例4:当x时,分式有意义2
x21xx2
xy115x3xy5y
例5:x,y满足关系时,分式无意义;例10:已知-=3,则=
xyxyx2xyy
。
例6:无论x取什么数时,总是有意义的分式是(
三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以
)
一个不等于0的整式,分式的值不变。
AACAAC
C0
BBCBBC
值保持不变的是()
3x3x3x2
A、B、C、
xy6x(yz)2y2y22y
例1:;;
aaby3(yz)2yz
3
5(3a1)53x
如果成立,则a的取值范围是________;D、
7(3a1)72y2
ab21
bcbc
例2:33a
ab()a()例:根据分式的基本性质,分式可变形为(
10
例3:如果把分式a2b中的a和b都扩大10倍,那么ab
ab)
aaaa
分式的值().D.
abababab
A、扩大10倍B、缩小10倍C、是原来的20倍D、不例11:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各

变项系数都为整数,;
x
10x
例4:如果把分式中的x,y都扩大10倍,则分式例12:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的
xy
系数为正数,1x=。
2
的值()1xx
2
3xx的值,使分子、分母
5x32x3
1
,则是()。
10
四、分式的约分:关键先是分解因式。
xy
例5:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式分式的约分及最简分式:
xy
①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公
的值()因式约去,叫做分式的约分
②分式约分的依据:分式的基本性质.
A、扩大2倍;B、扩大4倍;C、不变;D缩小2倍③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解
因式,然后约去分子与分母的公因式.
xy
例6:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因
xy
式的分式,叫做最简分式)
的值()约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式
的,主要分数字,同字母进行约分。
A、扩大2倍;B、扩大4倍;C、不变;D缩小2倍第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因
式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因
xy
例7:如果把分式中的x和y都扩大2倍,即分式式约去。
xy
xy1
例1:下列式子(1);(2)
x2y2xy
的值()
baabba
;(3)1;(4)
A、扩大2倍;B、扩大4倍;C、不变;D缩小caacab
1xyxy
倍中正确的是()A、1个B
2xyxy
x3y、2个C、3个D、4个
例8:若把分式的x、y同时缩小12倍,则分式
2x例2:下列约分正确的是()
6
x3xyxy1
的值()A、x;B、0;C、;D、
x2xyx2xyx

2xy1

例9:若x、y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的4x2y2
例3:下列式子正确的是()
1x2
2xyayyzy+=3,求的值.
A0B.1C.
2xyayxxxxxx1
cdcdcdcd
04、分式的通分及最简公分母:
aaa
例4:下列运算正确的是()通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二
aa241
A、B、
ababxx2类:分母是多项式(要先把分母因式分解)
a2a111
C、D、
b2b2mmm分为三种类型:“二、三”型;“二、四”型;“四、
2
例5:化简m3m的结果是()
9m2六”型等三种类型。
mmmm
..
m3m3m33m“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分
4x2y3x
例7:约分:;=;
6xy2x29母就是它们的乘积。
11
xy2x
1;533x5y。例如:最简公分母就是x2x2。
2x2x2
y
2
例8:约分:a4=;4xy
22
a4a416xy“二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,
a(ab)xyaxay
;
b(ab)(xy)2x2y2最简公分母就是其一的那个分母。
2x29
;x16;2x
2例如:最简公分母就是
x8x162x6x2x24
23
14abc5ab
___________2
21a3bc20a2bx4x2x2
2
2x9
9m___________“四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时
__________2
m3x6x9
也有独特的因式,最简公分母要有独特的;相同的都
例9:分式a2,ab,4a,1中,最简分
2
a3a2b212(ab)x2
要有。
式有()
22x2
3x,x1,x2xyy2,a2ab中是最例如:最简公分母是:2xx2
422x2xx2
4ax1xyab2b
简分式的有()。这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用,
22
:(1)x6x9;(2)m3m2
x29m2m仔细的去发现之间的区别与联系。
x
:(1),y;112
6ab29a2bc例1:分式,,的最简公分母(
mnm2n2mn
)
(2)a1,6
a22a1a21
22
A.(mn)(mn)B.(m2n2)2
1
+3x+1=0,求x2+.(mn)2(mn)n2
x2
2
yx12xy2x5y10y
例2:对分式,,通分时,最简公分母是(7)xyx(8)
2x3y24xyxy3y26x21x2
()x21x3
(9)(1x)(10)
6x9x2x
22222
a1a2
2a1
2a4a4a1
x122
例3:下面各分式:,xy,x1,xy,其
2
xxx2y2x1x2y2
x3
中最简分式有()个。求值题:(1)已知:,求
y4
y2xyy2
的值。
x22xyy2x2xy
例4:分式1,a的最简公分母是.
a242a4
1x2y2
例5:分式a与的最简公分母为________________;(2)已知:x9yy3x,求的值。
bx2y2
11
例6:分式,的最简公分母为
x2y2x2xy
11
。(3)已知:3,求2x3xy2y的值。
xyx2xyy
五、分式的运算:分式的乘,除,乘方以及加减
acac乘方例题:
分式的乘法:乘法法测:·=.
bdbd25
2y32a
acadad计算:(1)()(2)=
分式的除法:除法法则:÷=·=3xb
bdbcbc
323
分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘3y3b
(3)=(4)=
a22
方,用式子表示就是()n2x2a
b
分式的乘方,是把分子、:223
ab4
(5)ab
aanba
()n=(n为正整数)
n
bb22
aa2aa1
(6)
分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把a21a1a1
分子相加减。异分母的分式相加减,先通分,变为同分2
(7)已知:x210x25y30求xx的值。
母分式,然后再加减。2xy2y
ababacadbcadbc
,
cccbdbdbdbd121
(8).当分式--的值等于零时,则
混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用x21x1x1
运算率简算。x=_____。
例题:ab
(9).已知a+b=3,ab=1,则+的值等于_____。
26x225x41ba
计算:(1)(2)aa
67aa63
15x39ya(10).先化简,再求值:-+,其中a=
a3a23aa
23
224x2x25
(3)ababa(4)。
2
a2ababa2x5x42
8、分式的加减:
a21a13b2
(5)(6)分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。
26ab
a4a4a22a1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。
2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。a
例8:计算a1的结果是()
通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单a1
项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行
11a2a1
通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分ABCDa1
解,考虑什么类型,继续通分。a1a1a1
分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与12x
例9:请先化简:,然后选择一个使
分式的加减。x2x24
22n2a23a24原式有意义而又喜欢的数代入求值.
例1:=例2:=
mma21a21
例10:已知:x24x30求
yxx12x
例3:=的值。
xyyxx2x24x4
x2yy2x
例4:=
x2y2y2x2x2y29、分式的混合运算:
42x
4m1例1:
例5计算:(1)x216x4x4
m3m3
1x3x22x1
22例2:
ababx122
(2)(3)x1x4x3
abba(ab)2(ba)2
x2x2x22x
例3:
()2
222x2x2x
5ab33ab58ab
(4)--.
ab2ab2ab24x1x
例4:2例5:1
x3x11xx1
111
例6:化简++等于()
xyx2y2
x2x3x例6:1
x2yx24xy4y2
13115
2x2x6x6xx1x1
:
x2xx22x1x
bca2a1
例7:(2)x2x1x4
abca24a2例8:()
x22xx24x4x
3xxxx6110、分式求值问题:
(2)(4)
22
(x3)3xx3x3xx22
例1:已知x为整数,且++2x18为整数,
x33xx29
求所有符合条件的x值的和.
2a1a2a
(5)-(6)a11
a2a2a24a1例2:已知x=2,y=,求2424÷
22
2(xy)(xy)
11的值.

x2babxyxy
(7)x1(8)
x1abb2a2例3:已知实数x满足4x2-4x+l=O,则代数式2x+
1
的值为________.
2x
14x1122例4:已知实数a满足a2+2a-8=0,求
(9)(10)+.
222
2xx42xa93a1a3a2a1的值
22.
a1a1a4a3
12222
例5:若x3求x的值是().或1
xx4x21333
1111例5:已知4ABxC,
.
81024x(x24)xx24
112x14xy2y
例6:已知3,求代数式的值则A_____,B_____,C______;
xyx2xyy
例:先化简,再对取一个合适的数,代入求值3y7AB
7a
2例6:已知(y1)(y2)y1y2,则( )
a1a3a6a9.
2
a3a2a10,B10,B13C.
练习题:
A10,B10,B13
2
(1)x4x,其中x=
2例7:已知2x3y,求的值;
x8x16x2y2x2y2
a28a1611
(2),其中a=5例8:设mnmn,则的值是()
a216mn
1
.1
a2abmn
(3),其中a=-3,b=2
a22abb212、化为一元一次的分式方程:
(1)分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方
a21a1
(4);其中a=85;程——分式方程。
2
a4a4a2(2)解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘
x2x1x4以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式
(5)(),其中x=-1
x22xx24x4x方程。解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,
最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分
(6)先化简,再求值:3x÷(x+2-5).其中x=-2.
2x4x2式方程一定要验根。
(3)解分式方程的步骤:(1)能化简的先化简;
aa2aa22
其中(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;
(7)(22)(22)1,a,b3
aba2abbabab3(3)解整式方程;
2
1x1(4)验根.
(8)先化简,1,再选择一个你喜欢的
xxx1
例1:如果分式的值为-1,则x的值是
1
;
54
例2:要使与的值相等,则
11、分式其他类型试题:x1x2
2345x=__________。
例1:观察下面一列有规律的数:,,,,
2mx11
381524例3:当m=_____时,方程=2的根为.
67mx2
,,……根据其规律可知第n个数应是
35482
例4:如果方程3的解是x=5,则a=
___(n为正整数)a(x1)
例2:观察下面一列分式:
。
124816
,,,,,...,根据你的发现,它的第8项232x1
2345例5:(1)(2)1
xxxxxxx1x33x
是,第n项是。x216x2
110例6:解方程:
例3:当x=_______时,2x24x2
5x23xax4
例7:已知:关于x的方程1无解,
例4:在正数范围内定义一种运算☆,其规则为a☆b=x33x
113求a的值。
,根据这个规则x☆(x1)的解为()
ab2
xa(2)分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简
例8:已知关于x的方程1的根是正数,求a
x2公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的
的取值范围。解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程
1x2的解。
例9:若分式与的2倍互为相反数,则所列
xm
x2x3例1:分式方程+1=有增根,则m=
方程为___________________________;x3x3
例10:当m为何值时间?关于x的方程例2:当k的值等于时,关于x的方程
mxx1k4x
的解为负数?2不会产生增根;
x2x2x1x2x3x3
例3:若解关于x的分式方程
bxxb
例11:解关于x的方程2(a0)
aa2mx3
2
x1x12ax2x4x2会产生增根,求m的值。
例12:解关于x的方程:(a0)
ababa2b2xm
例4:m取时,方程2会产生
x1x22xax3x3
例13:当a为何值时,的增根;
x2x1(x2)(x1)
xm2
例5:若关于x的分式方程2无解,
解是负数?x3x3
则m的值为______。
xx2y22x2
例14:先化简,再求值:2,
(xy)2xyxy例6:当k取什么值时?分式方程
xkx
0有增根.
x2y3x1x1x1
其中x,y满足方程组
xy2x1m
例7:若方程有增根,则m的值是(
x4x4
x1xm
例15知关于x的方程的).-
x2x1(x2)(x1)
3a4
例8:若方程有增根,则增根可
解为负值,求m的取值范围。x2xx(x2)
能为()
练习题:
A、0B、2C、0或2
143x2D、1
(1)(2)
20
x4x16x1x(x1)15、分式的应用题:
135(1)列方程应用题的步骤是什么?(1)审;(2)设;
(3)
1X21X1X(3)列;(4)解;(5)答.
xx25x42x51(2)应用题有几种类型;基本公式是什么?基本上
(4)(5)
x5x62x43x62有四种:
:基本公式:路程=速度×时间而行程问
(6)
x1x21题中又分相遇问题、追及问题.
11:在数字问题中要掌握十进制数的表示
(7)3
x22x法.
:基本公式:工作量=工时×工效.
(8)
2
x33xx:v顺水=v静水+=v静水-
31v水.
(9)3
2x21x
13、分式方程的增根问题:
工程问题:
(1)增根应满足两个条件:一是其值应使最简公分母为例1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,
0,二是其值应是去分母后所的整式方程的根。则两人一起完成这项工程需要______小时。
例2:小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比
小张少打6个字,小明打120个字所用的时间和小张打班种66棵树所用时间与八(2)班种60棵树所用时
180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟,间相同,求:八(1)、八(2)两班每小时各种几棵
则列方程正确的是()树?
120180120180
A.B.
x6xx6x例9:某一一项工程预计在规定的日期内完成,如果
120180120180甲独做刚好能完成,如果乙独做就要超过日期3天,
C.D.
xx6xx6现在甲、乙两人合做2天,剩下的工程由乙独做,刚
例3:某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独刚好在规定的日期完成,问规定日期是几天?
做,恰好如期完成;如果乙工作队独做,则超过规定日例10:服装厂接到加工720件衣服的订单,预计每
天做48件,正好可以按时完成,后因客户要求提前
期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,5天交货,则每天应比原计划多做多少件?
恰好在规定日期完成,
例11:为加快西部大开发的步伐,决定新修一条公
为x天,下面所列方程中错误的是()路,甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单
独施工,则刚好可以按期完成;如果乙工程队单独施
2x23
A.1B.。现在甲、乙两队先共同
xx3xx3施工4个月,剩下的由乙队单独施工,则也刚好可以
11x21x按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时
21D.1间?
xx3x3xx3
例4:一件工程甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完例12:某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需
成,甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数付甲、乙两队共4350元;乙、丙两队合做10天完成,
是( ).厂家需付乙、丙两队共4750元;甲、丙两队合做5
111ab2
bB.,厂家需付甲、丙两队共2750
ababab3
例5:赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期元。
内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读21页才(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少
,平均每天读多少页?如天?
果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的(2)若工期要求不超过20天完成全部工程,问可由
是()哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。
140140280280
A、14B、14
xx21xx21价格价钱问题:
1010140140
C、1D、14例1:“五一”江北水城文化旅游节期间,几名同学
xx21xx21包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为180元,
例6:某煤厂原计划x天生产120吨煤,由于采用新的技出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊
术,每天增加生产3吨,因此提前2天完成任务,列出了3元钱车费,设参加游览的同学共x人,则所列方
方程为()程为()
120120120120180180180180
A3B3A.3B.3C.
x2xxx2xx2x2x
120120120120180180180180
C3D33D.3
x2xxx2xx2x2x
例7:某工地调来72人参加挖土和运土工作,已知3人例2:用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种
挖出的土1人恰好能全部运走,问怎样调配劳动力才使涂料配制成一种新涂料,其每千克售价比甲种涂料
挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题,可设每千克售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多1
x
72x1元,求这种新涂料每千克的售价是多少元?若设这
①;②72x;③
x33种新涂料每千克的售价为x元,则根据题意可列
x方程为________.
x3x72;④3.
72x
例8:八(1)、八(2)两班同学参加绿化祖国植树活动,
已知八(1)班每小时比八(2)班多种2棵树,八(1)例3:某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,
甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元,米所需时间相同,已知水流速度是每小时3千米,求
现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问轮船在静水中的速度。
甲、乙同种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工
资最少?行程问题:
例1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小
时V千米,下坡时的速度为每小时V千米,则他
例4:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号12
在这
召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元,第段路上、下坡的平均速度是每小时()
二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次捐款
v1v2v1v2
人数多20人,而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两A、千米B、千米
2vv
次各有多少人进行捐款?12
2vv
C、12千米D、无法确定
例5:随着IT技术的普及,越来越多的学校开设了微机v1v2
,由于团体购买,例2:甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,
结果每台电脑的价格比计划降低了500元,因此实际支则a小时相遇;若同向而行,
?若每台电脑每天么甲的速度是乙的速度的( )
abb
最多可使用4节课,
微机课?(该校上微机课时规定为单人单机)bab
baba

例6:光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏baba
例3:八年级A、
令营活动,联系了甲、乙两家旅游公司,甲公司提供的
湖公园游玩,A班学生步行出发半小时后,B班学生
优惠条件是:1名教师收行业统一规定的全票,其余的
骑自行车开始出发,结果两班学生同时到达石湖公园,
,乙公司则是:所有人全部按8折收如果骑自行车的速度是步行速度的3倍,求步行和骑
1
,自行车的速度各是多少千米/小时?
32
那么参加活动的学生人数是多少人?例4:A、B两地的距离是80公里,一辆公共汽车从
A地驶出3小时后,一辆小汽车也从A地出发,它的
例7:某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫,面速度是公共汽车的3倍,已知小汽车比公共汽车迟20
市后供不应求,,求两车的速度。
衬衫,所购数量是第一批购进数量的2倍,但单价贵
了4元,商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58例5:甲、乙两火车站相距1280千米,采用“和谐”
元,最后剩下的150件按八折销售,很快售完,请问号动车组提速后,,
在这两笔生意中,商厦共赢利多少元?从甲站到乙站的时间缩短了11小时,求列车提速后
的速度。
顺水逆水问题:
例1:A、B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行数字问题:
至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用去9
例1:一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加
小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中
1
的速度为x千米/时,则可列方程()1,则这个分数等于,求这个分数.