初二数学知识点总结 （3）.pdf

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初二数学知识点总结
第十二章数的开方
一、平方根
1、如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数。
2、如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
3、求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
二、立方根
1、如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
2、求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
三、实数
1、无限不循环小数又叫做无理数。
2、有理数和无理数统称实数。
3、一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是
0。
第十三章整式的乘除
一、同底数幂的乘法法则:
mnmn
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。即aaa(m,n都是正整数)
二、幂的乘方法则:
1、幂的乘方,底数不变,指数相乘。即(am)namn(m,n都是正整数)
mnmnnm
2、幂的乘方法则可以逆用:即a(a)(a)
三、积的乘方法则:
积的乘方,等于各因数乘方的积。即(ab)nanbn(n是正整数)
四、同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。即amanamn(a0,m,n都是正整数,
且mn)
五、零指数和负指数;
1、a01,即任何不等于零的数的零次方等于1。
p1
2、ap(a0,p是正整数),即一个不等于零的数的p次方等于这个数的
a:.
p次方的倒数。
六、单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含
有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
注意:
①积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
②相同字母相乘,运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
七、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)
注意:
①积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项。]
如:2x(2x3y)3y(xy)
八、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的
积相加。
(3a2b)(a3b)
如:
(x5)(x6)
九、平方差公式:
22
1、(ab)(ab)ab注意平方差公式展开只有两项
2、公式特征:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项
互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
十、完全平方公式:
222
1、(ab)a2abb
2、公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式
中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意:
a2b2(ab)22ab(ab)22ab
(ab)2(ab)24ab
222222
(ab)[(ab)](ab)(ab)[(ab)](ab)
完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。:.
十一、三项式的完全平方公式:
2222
(abc)abc2ab2ac2bc
十二、单项式的除法法则:
1、单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有
的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2、注意:首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式
里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
如:7a2b4m49a2b
十三、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:(ambmcm)mammbmmcmmabc
十四、因式分解
1、多项式中每一项都含有一个相同的因式,称之为公因式。
2、把公因式提出来,多项式就可以分解成两个因式的乘积。这种方法叫做提公因式法。
第十四章勾股定理
一、勾股定理
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2)
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;
联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。
第十五章平移与旋转
一、平移
1、定义:平移定义在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运
动称为平移。 2、性质:(1)经过平移,对应点所连的线段平行且相等。 (2)对应线段平行且相等,对应角相等。
二、旋转:.
1、定义:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转。定点称为旋转中心,旋转的角称为旋转角。 2、性质:(1)图形中每一点都绕中心旋转了同样的角度。 (2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等、对应角相等。
三、作图 1、如图作出平移后的图形:首先根据平移的方向和距离确定一些关键点平移后的位置,再按原图的连结方式连结各点。 2、如何作出旋转后的图形:首先找出图形的关键点,把关键点绕旋转中心,转过指定的角度,再按原来的方式连结这些点,就得到旋转的图形。四、平移与旋转的异同 1、相同点:不改变图形的大小。 2、不同点:平移时图形的方向不变,旋转时图形的点到旋转中心的距离不变。平移是由平移的方向和距离决定的,旋转是由旋转和旋转角度决定的。
五、图形的全等
1、性质:全等多边形的对应边相等,对应角相等。
2、判定:边角分别对应相等的两个多边形全等。
第十六章平行四边形的认识
一、平行四边形
1、定义:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示:平行四边形用符号“□”来表示。
2性质:(1)平行四边形对边相等;
(2)平行四边形对角相等;
(3)平行四边形对角线互相平分
3、判定:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(4)从对角线看:对角钱互相平分的四边形是平行四边形
(5)从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
二、矩形
1、定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也说是长方形
2、性质:(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等
(3)矩形的对角线相等且互相平分。
3、判定:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
(3)有三个角是直角的四边形是矩形
三、菱形
1、定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(菱形是平行四边形:一组邻边相等):.
2、性质:(1)菱形的四条边都相等
(2)菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。
3、判定:(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形
(4)四条边都相等的四边形是菱形
四、正方形
1、定义:四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形。
2、性质:(1)正方形既有矩形的性质,又有菱形的性质。
(2)正方形是轴对称图形,其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的
直线,也是中心对称图形,对称中心为对角线的交点。
五、梯形:
1、定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形:两腰相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形:有一个角是直角的梯形是直角梯形
2、等腰梯形的性质:(1)等腰梯形是轴对称图形,上下底的中点连线所在的直线是
对称轴,
(2)等腰梯形同一底边上的两个角相等。
(3)等腰梯形的两条对角线相等。
3、等腰梯形的判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
4、解决梯形问题常用的方法:
(1)“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形
(2)“作高”:使两腰在两个直角三角形中
(3)平移对角线:使两条对角线在同一个三角形中
(4)延腰构造具有公共角的两个三角形
(5)等积变形:连接梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,
构成三角形。
第十七章分式
一、分式及其基本性质
A
1、定义:形如(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式。
B
其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
2、整式和分式统称有理式。
3、基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分
式的值不变。
4、分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。:.
二、分式的乘除法
分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简。
三、分数的加减法
1、同分母分式的加减法的法则是:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。
2、异分母的分式加减法法则:异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然
后再加减.
四、零指数幂和负整指数幂
1、任何不等于零的数的零次幂都等于零。
2、任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数。
第十八章函数及其图象
一、变量与函数
1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个
确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,
y是x的函数。
*判断A是否为B的函数,只要看B取值确定的时候,A是否有唯一确定的值与之对应。
二、平面直角坐标系
1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角
坐标系
2、各个象限内点的特征:
第一象限:(+,+)点P(x,y),则x>0,y>0;
第二象限:(-,+)点P(x,y),则x<0,y>0;
第三象限:(-,-)点P(x,y),则x<0,y<0;
第四象限:(+,-)点P(x,y),则x>0,y<0;
3、坐标轴上点的坐标特征:
x轴上的点,纵坐标为零;y轴上的点,横坐标为零;原点的坐标为(0,0)。两
坐标轴的点不属于任何象限。
4、点的对称特征:已知点P(m,n),
关于x轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同,纵坐标反号:.
关于y轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同,横坐标反号
关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横,纵坐标都反号
5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
平行于x轴的直线上的任意两点:纵坐标相等;
平行于y轴的直线上的任意两点:横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征:
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P(x,y)的几何意义:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|,
点P(x,y)到y轴的距离为|x|。
22
xy
点P(x,y)到坐标原点的距离为
8、两点之间的距离:
X轴上两点为A(x1,0)、B(x2,0)|AB||x2x1|
(0,y1)(0,y2)|y2y1|
Y轴上两点为C、D|CD|
(xx)2(yy)2
已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=2121
9、中点坐标公式:已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M为AB的中点
x2x1y2y1
则:M=(2,2)
10、点的平移特征:在平面直角坐标系中,
将点(x,y)向右平移a个单位长度,可以得到对应点(x-a,y);
将点(x,y)向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y);
将点(x,y)向上平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b);
将点(x,y)向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y-b)。
注意:对一个图形进行平移,这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化;反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移:.
三、函数的图象
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐
标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象。
四、一次函数及其性质
1、定义:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),
b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实
数
b
2、一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它
k
为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;
当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)
b
(2)必过点:(0,b)和(-,0)
k
(3)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
k0k0
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
b0b0
k0k0
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
b0b0
注:y=kx+b中的k,b的作用:
1、k决定着直线的变化趋势
①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的
2、b决定着直线与y轴的交点位置
①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
五、正比例函数及性质:.
1、一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
2、当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;
当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
(1)解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
(2)必过点:(0,0)、(1,k)
(3)走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
(5)倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
六、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为
未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
七、反比例函数的性质:
>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减
小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。
>0时,函数在x<0和x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0和x>0上同
为增函数。
定义域为x≠0;值域为y≠0。
=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象
不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平
行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则S1=S2=|K|
,又是中心对称图形,它有两条对称轴
y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那
么AB两点关于原点对称。
=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,
则n2+4k·m≥(不小于)0。(k/x=mx+n,即mx^2+nx-k=0)
=k/x的渐近线:x轴与y轴。
=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.(第
5点的同义不同表述):.
、y轴分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)
的面积为|k|
,k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
第十九章全等三角形
一、定义:能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
二、三角形全等的判定定理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等
(HL或“斜边,直角边”)
三、性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。
7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)
第二十章平行四边形的判定
一、平行四边形的判定定理
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(4)从对角线看:对角钱互相平分的四边形是平行四边形
(5)从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
二、矩形的判定定理:.
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
(3)有三个角是直角的四边形是矩形
三、菱形的判定定理
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(2)对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形
(4)四条边都相等的四边形是菱形
四、正方形的判定定理
(1)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
五、等腰梯形的判定定理:
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形。
第二十一章数据的整理与初步处理
一、描述数据集中趋势的量
1、算术平均数
公式:=∑Xi/N
2、加权平均数
公式:x拔=(x1f1+x2f2+...xkfk)/n
3、众数:是指在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。
4、中位数:将一组数据按大小排列顺序,把处在最中间的一个数据(或最中间的两个数据的平均数)叫做中位数。
二、描述数据离散程度的量
1、极差=最大值-最小值
2、方差:各个数据与平均数之差的平方的平均数叫方差。即:
212221
s[(x1x)(x2x)(xnx)],其中x(x1x2xn)。
nn
3、标准差:标准差就是方差的算术平方根,用s表示。即:
1222
s[(x1x)(x2x)(xnx)]。
n