勾股定理知识点.pdf

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a2+b2=
勾:直角三角形较短的直角边
股:直角三角形较长的直角边
弦:斜边
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角
三角形。
:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同
样也是勾股数组。)
*附:常见勾股数:3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13
:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。(经典直
角三角形:勾三、股四、弦五)
其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理
常见方法如下:
1
方法一:4SSS,4ab(ba)2c2,化简可证.
正方形E正F方GH形ABCD2
  
Dba
C
a
Hc
cb
E
G
Fc
b
ac
ba
AcBab
方法二:
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2
2
大正方形面积为S(ab)2a22abb2
所以a2b2c2
5、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b2c2中,a,b,
c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等
命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2,
命题2如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题:
两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第
二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定
理,其中一个叫做另一个的逆定理.
(1)任何一个命题都有逆命题;
(2)原命题是正确,逆命题不一定正确,原命题不正确,逆命题可能正确;
(3)原命题与逆命题的关系就是,命题中题设与结论相互转换的关系.
无理数是无限不循环小数的逆命题是
等腰三角形两底角相等的逆命题是有两个角相等的三角形的等腰三角形。
原命题:猫有四只脚.()对顶角相等()
(1)两直线平行,内错角相等;(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等;
(3)全等三角形的对应角相等;(4)等腰三角形的底角相等.
1、分别以下列四组数为一个三角形的边长:其中能构成直角三角形的有
①3,4,5;②5,12,13;③8,15,17;④4,5,6.
2、在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,则a=____.
3、三角形的三个内角之比为:1:2:3,
别为a,b,c,则它们的关系是____.
4、求出下列直角三角形中未知边的长度
5、△ABC的三边长为9,40,41,则△ABC的面积
为____;
6、在直角三角形ABC中,∠C=90°,
(1)已知a:b=3:4,c=25,求a和b
(2)已知∠A=30°a=3,求b和c
(3)已知∠A=45°,c=8,求a和b
7、.如图,两个正方形的面积分别
为64,49,则AC=.
8、在△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=4.
(1)求△ABC的面积⑵求斜边AB⑶求高CD
9、求下列图中字母所表示的正方形的面积
10、如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形
的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2。
22
11、已知ABC的三边a、b、c满足(ab)(bc)0,则ABC为三角形
12、ABC中,若a2=(b+c)(b-c),则ABC是三角形,且90
ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长为,周长为。
14、已知x12xy25与z210z25互为相反数,试判断以x、y、z为三边的三角
形的形状。
ABC的三边a、b、c满足条件a2b2c233810a24b26c,试判断ABC的
形状。
62b8(c10)20,则以a、b、c为边的三角形是
17已知直角三角形两边x、y的长满足|x2-4|+y25y6=0,则第三边长为__
18三角形的三边长分别为6,8,10,它的最短边上的高为()

19、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为()
A:43B:3C:23D:3
2
20、已知a、b、c是三角形的三边长,如果满足(a6)b8c100,则三角
形的形状是()
 
A:底与边不相等的等腰三角形B:等边三角形C:钝角三角形D:直角三角
形
A

21、如图,CABD90,AC4,BC3,BD12,则AD=
;C
BD
22、若三角形的三边满足a:b:c5:12:13,则这个三角形中最大
的角为;
23如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°.
(1)求∠BAC的度数.
(2)若AC=2,求AD的长.
24、如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9。(1)求DC的长。
C
(2)求AB的长
ADB