信号与系统：第二讲 阶跃信号与冲激信号.pdf

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第一章绪论
上节课回顾
信号与系统的基本概念
信号信号/行为
系统
信号系统与信息技术:获取、处理、传输、应用
信号的描述、分类、运算
∞
f(t)*f(t)=f(τ)f(t−τ)dτ
12∫12
−∞
2
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第一章绪论
上节课回顾
阶跃函数与冲激函数
Dirac定义(狄拉克)δ(t)
∞1(冲激强度)
⎧
⎪δ(t)dt=1
∫−∞
⎨
⎪δ(t)=0(t≠0)
⎩0t
δ(t)f(t)=f(0)δ(t)筛选或抽样特性
3
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第一章绪论
上节课的问题
幅度取值连续
时
连续与离散间连续离散
幅
度
连
Analog
续
tt
离Digital
散
tt
多电平数字信号56KMODEM
4
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第一章绪论
上节课的问题
1⎡ττ⎤
广义极限定义δ(t)=limU(t+)−U(t−)
τ→0⎢⎥
τ⎣22⎦
δ(t)
τ⇒0
1(冲激强度)
1τ
0t0t
−τ2τ2
∞
⎧
⎪δ(t)dt=1
∫−∞
Dirac定义(狄拉克)⎨
⎪δ(t)=0(t≠0)
⎩
不是充分必要条件!5
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§
冲激偶函数δ′(t)doublet
f(t)δ(t)
1ττ⇒0
1
−τ2τ2t0t
0
f’(t)δ′(t)
1ττ⇒0
∞
τ2
−τ2t0t
−1τ−∞
参考:P21-22,由三角形脉冲信号→δ(t)→δ′(t)
6
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§
δ′(t)函数的性质:
(1)δ′(t)具有位于0点的双脉冲,关于轴互为镜
像,强度为无穷大
∞
(2)δ′(t)dt=0奇函数
∫−∞
∞
(3)f(t)δ′(t)dt=−f′(0)
∫−∞
∞∞∞
证明:f(t)δ′(t)dt=f(t)δ(t)−f′(t)δ(t)dt=−f′(0)
∫−∞−∞∫−∞
7
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§
∞δ(t+τ)−δ(t−τ)
思考题5limf(t)dt=?
τ→0∫−∞
2τ
∞
思考题6f(t)δ′(t−t)dt=−f′(t)(证明)
∫00
−∞
奇异函数小结:
dddd
dtdtdtdt
R(t)⇒u(t)⇒δ(t)⇒δ′(t)⇒δ′′(t)"
8
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第一章绪论
§
直流分量与交流分量f(t)=f+f(t)
DA
f直流分量,即信号的平均值(DC)
D
f交流分量,其积分为0(AC)
A
偶分量与奇分量f(t)=f(t)+f(t)
eo
1
fe(t)=[]f(t)+f(−t)
2
1
f(t)=[]f(t)−f(−t)
o
29
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§
实部分量与虚部分量:
实际信号是实函数,但往往出于分析之便构成复函数,
如数字信号处理技术中构作某些复信号(OFDM)
f(t)=f(t)+jf(t)
ri
1
fr(t)=[]f(t)+f*(t)
2
1
jfi(t)=[]f(t)−f*(t)
2
NOTE:一个实信号本身构造不出复信号
10
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§
脉冲分量:
分解为冲激之和或阶跃之和(自学)
∞
常用:分解为冲激之和f(t)=f(t)δ(t−t)dt
∫111
−∞
正交函数分解:
用正交函数集表示一个信号,将是本课程的主要内容
第三章介绍傅立叶级数,是正交分解之一实例
第六章集中研究正交分解之一般理论
11
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第一章绪论
§
系统模型是系统物理特性的数学抽象,其表示
形式有数学表示式,图形符号和方框图
CL
(1)图形符号表示
+i(t)
e(t)R
很多电子线路都可以用此-
RLC等效模型来描述
R、L、C串联电路
(2)数学表示式(两种形式)
12
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§
di1CL
输入—输出描述L+iR+idt=e(t)
∫
dtC
+i(t)R
e(t)
2-
di(t)di(t)de(t)
LC+RC+i=C
2
dtdtdt
一般为一个n阶一元方程(单入—单出SISO)
⎧dvc(t)i(t)
状态变量(状态方程)=
⎪
⎪dtC
⎨
di(t)1R1
⎪=−v(t)−i(t)+e(t)
⎪c
⎩dtLLL
一般为n个一阶联立方程
NOTE:系统的阶(order)即为微分方程(一元)的阶13
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§
(3)方框图
基本单元:
e1(t)r(t)=e1(t)+e2(t)
∑
相加
e2(t)
t
e(t)r(t)=e(τ)dτ
∫−∞
积分∫
e(t)r(t)=a⋅e(t)r(t)=a⋅e(t)
倍乘e(t)a
a
14
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§
上述RLC等效模型的方框图表示为
i(t)
1
e(t)
L
∑∫∫
R
−
L
1
−
举例(方框图)LC
d
r(t)+a0r(t)=b0e(t)
dt
两边取积分:
r(t)+ar(t)=be(t)
0∫0∫
15
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§
r(t)a
0
保证e(t)前系数为1:+r(t)=e(t)
∫∫
bb
00
常用步骤:
符号图形→微分方程→积分方程→系数归1→方框图
NOTE①系统模型的建立有一定的条件约束,要注意其工
作环境、工作频率
②同一物理系统实体可有不同的模型,模型不唯一
③同一模型可表示不同物理系统
④本课程所涉及的系统建模问题主要是针对线性时
不变系统,且SISO
16
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§
系统分类
(1)线性、非线性(Linear&Non-linear)
线性系统具有叠加性和均匀性(倍乘),齐次性homogeneity
e(t)→r(t)
11
⇒ae(t)+ae(t)→ar(t)+ar(t)
11221122
e2(t)→r2(t)
线性系统由线性元器件组成,一般可由微分方程描述
若有非线性元件,如(非线性电阻),则构成非线性微分方
程。17
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§
(2)时变、时不变(Time-variant,Time-invariant)
qL
若C是变容二极管C(t)
C(t)R
+i(t)
v(t)
-
2
dq(t)dq(t)
LC(t)+RC(t)+q(t)=C(t)v(t)
2
dtdt
(3)记忆、无记忆(memory、memoryless)
withmemory:动态系统、微分方程
withoutmemory:即时系统、代数方程
18
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§
(4)连续、离散
Continuous微分系统Differential
Discrete差分系统Difference
(5)集总参数Lumpedparameter集总参数系统常微分方程
分布参数Distributedparameter分布参数系统偏微分方程
传输线、波导分布参数(空间位置)
19
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§
(6)因果系统causal
当t<0,e(t)=0⇒t<0,r(t)=0有始系统
非因果系统:Nonanticipated实际上少见,但有例
(7)可逆系
统:
不同的输入导致不同的输出,否则为不可逆系统
本课程着重讨论线性时不变系统
20
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§
举例:判断因果系统举例:判断因果系统
微分方程r()t=e(t)+e(t−2)代表的系统是否是因果系统.
t=0r(0)=e(0)+e(−2)
现在的响应=现在的激励+以前的激励
该系统为因果系统。
微分方程r()t=e(t)+e(t+2)代表的系统是否是因果系统.
t=0r(0)=e(0)+e(+2)未来的激励
该系统为非因果系统21
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第一章绪论
§(LT1)
线性:叠加性、齐次性
e(t)r(t)e(t)r(t)
1122
c1e1(t)+c2e2(t)cr(t)+cr(t)
1122
注意:能否从叠加性导出齐次性(二者是否独立?),
不能,如C为复数。
22
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§(LT1)
时不变:响应形式与激励施加的时刻无关
e(t)→r(t)e(t−t0)→r(t−t0)
线性、时不变⇒微分特性
e(t)−e(t−∆t)r(t)−r(t−∆t)
lim⇒lim
∆t→0∆t→0∆t
∆t
de(t)e(t)r(t)dr(t)
∴
dtdt
23
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§(LT1)
举例:判断线性时不变系统
y()t=t⋅f(t)
f1()tC1f1(t)
是否为线性系统?是否为线性系统?
C1
∑H[]•t⋅[C1f1(t)+C2f2(t)]
f2()tC2f2(t)
C2
f1()tt⋅f1(t)C1t⋅f1(t)
H[]•C1
∑C1tf1(t)+C2tf2(t)
f2()tt⋅f2(t)C2t⋅f2(t)
H[]•C2
先线性运算,再经系统=先经系统,再线性运算
所以此系统是线性系统24
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§(LT1)
是否为时不变?是否为时不变?
f()tt⋅f(t)DE
H[•](t−τ)f(t−τ)
τ
f()tDEf(t−τ)
H[•]t⋅f(t−τ)
τ
时移、再经系统经系统、再时移≠
所以此系统是时变系统。
22
de(t)dr(t)
思考题7→e(t)→r(t)
22∫∫
dtdt,
试证明之。25
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第一章绪论
§
范围:
确定性信号经LTI系统传输与处理的基本
分析方法(信号与线性系统)
思路:
从输入输出描述→状态描述
从连续信号分析→离散信号分析
从时间域分析→变换域分析
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§
时间域:解常微分方程(或解矩阵方程,状态),注
重物理概念,但通常比较烦琐,卷积
变换域:简化分析,非常重要的工具,如FT,LT,ZT
课程定位:
专业基础课,数学方法与工程实际的有机结合,
其概念、方法为今后专业课之重要基石,务必
打好基础。
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第一章绪论
本节课小结:•冲激偶及其性质
•信号的分解
•系统模型
•系统分类
•线性时不变系统
•一般系统分析方法
本章要点:•信号与系统的基本概念
•基本的信号(阶跃、冲激)
•基本的系统(线性时不变系统(LTI)
•基本的方法(概貌)
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第一章绪论
课后作业:1-17、1-18、1-19、1-20(1、3、5、7)
思考题5-7
下节课内容:
开始连续时间系统的时域分析
微分方程的建立与求解,(请复习有关微分方程求解方法)
0、0状态转换
−+
零输入响应和零状态响应
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