人教版数学七年级上册31《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)知识讲解.docx

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H團銘掘■息问趙
学习目标】
2•会解
麻般化戒1
,等式及
次方程的概念,并掌握它们的区别和联系;
次方程,并理解每步变形的依据

知识网络】
方程■的解
華式性质2
行殍问题
配套问题
依攜桶金解
签相提冋题
寻式性质的
夏潘适用
利用和擅倍分羌
和救列问姻
【要点梳理】
知识点一、:含有未知数的等式叫做方程.
:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元次方程.
要点诠释:判断是否为一元一次方程,应看是否满足:
只含有一个未知数,未知数的次数为1;
未知数所在的式子是整式,即分母中不含未知数.
:使方程的左、:求方程的解的过程叫做解方程.
知识点二、等式的性质与去括号法则
:
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.
2020-2021年人教版初一数学上学期
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举一反三:
举一反三:
:合并时,把系数相加(减)作为结果的系数,:
括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
括号外的因数是负数,、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤:
去分母:在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.
去括号:依据乘法分配律和去括号法则,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
移项:把含有未知数的项移到方程一边,常数项移到方程另一边.
合并:逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为ax=b(aM0)的形式.
b
系数化为1:方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=—(aMO).
a
检验:把方程的解代入原方程,若方程左右两边的值相等,则是方程的解;若方程左右两边的值不相等,则不是方程的解.
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
行程问题:路程=速度X时间
和差倍分问题:增长量=原有量X增长率
利润问题:商品利润=商品售价一商品进价
工程问题:工作量=工作效率X工作时间,各部分劳动量之和=总量
5•银行存贷款问题:本息和=本金+利息,利息=本金X利率X期数
:多位数的表示方法:例如:abed=ax103+bx102+cx10+d.
【典型例题】
类型一、一元一次方程的相关概念
费一
已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一兀一次方程,求m和x的值.
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都
是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.
【答案与解析】
解:因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m是关于x的一元一次方程,
所以3m-4=0且5-3mM0.
444
由3m-4=0解得m=3,又m=3能使5-3mM0,所以m的值是3.
将m=3代入原方程,
则原方程变为5-3x4'
V3丿
解得x=-3
所以m=3
8
x=一一
3
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举一反三:
举一反三:
【总结升华】解答这类问题,(3m-4)x2-(5-3m)x-4m=-2m2是关于x的一元一次方程,就是说x的二次项系数3m-4=0,而x的一次项系数5-3mM0,m的值必须同时符合这两个条件.
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举一反三:
举一反三:
变式】下面方程变形中,错在哪里:
方程2x=2y两边都减去x+y,得2x-(x+y)=2y-(x+y),即x-y=-(x-y).
方程x-y=-(x-y)两边都除以x-y,得1=T.
3—7x2x+1
—=-+2x,去分母,得3(3-7x)=2(2x+1)+2x,去括号得:9-21x=4x+2+2x.
【答案】(1)答:错在第二步,方程两边都除以x-y.
2.
(2)答:错在第一步,去分母时2x项没乘以公分母6.
(3a+1)xa(5x一3)
如果5(x+2)=2a+3与=5的解相同,那么a的值是.
答案】
7
11
解析】
由5(x+2)=2a+3.
解得x=2a_7
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举一反三:
举一反三:
解得x=—
(3a+1)xa(5x一3)
由=一
所以^5-1=一5a,解得a=
【总结升华】因为两方程的解相同,可把a看做已知数,分别求出它们的解,令其相等,转化为求关于a的一元一次方程.
举一反三:
【变式】(2015•温州模拟)已知3x=4y,则=
V
【答案】
解:根据等式性质2,等式3x=4y两边同时除以3y,
类型二、一元一次方程的解法
3.(2016春•淅川县期中)解方程一=竺
&
【思路点拨】方程整理后,去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解.
【答案与解析】
7V只t—了
解:原方程可化为6x-・一
两边同乘以6得36x-21x=5x-7,
解得:x=-.
【总结升华】此题考查了解一元一次方程,注意第一步用到的是分数的基本性质:分子和分母扩大相同的倍数,分数的值不变.
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举一反三:
举一反三:
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举一反三:
【变式】】解方程程+4
斗+化=士-三
【答案】解:把方程两边含有分母的项化整为零
++—+——=——
44
:
m(x-n)=(x+2m)
4
得
一5——+—.
443366
1
移项,合并同类项得:z=,系数化为1得:z=i.
+-

【变式2】解方程:-+^=0・

答案】
x+-
解:把方程可化为:-+~=0,
54
再去分母得:2x=-32
解得:x=-16
4•解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}=5.
【答案与解析】
解:,得:3(2x-1)-9(2x-1)-9=5.
72合并同类项,得-6(2x-1)=:2x-1=-3,解得x=-3.
【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体,:设2x-1=a,则原方程化为3[a-(3a+3)]=5.
类型三、特殊的一元一次方程的解法

【思路点拨】这个方程化为标准形式后,未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的,所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系.
【答案与解析】解:原方程可化为:(4m-3)x=4mn+6m=2m(2n+3)
4mn+6m当m丰=时,原方程有唯一解:x=
4m-3
33当m=匚,n=—入时,原方程无数个解;
42
33当m=丁,n丰时,原方程无解;
42
【总结升华】解含字母系数的方程时,一般化为最简形式ax=b,再分类讨论进行求解,注意最后的解不能合并,只能分情况说明.
解含绝对值的方程
解:当x-220时,原方程可化为x-2=3,得x=5.
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举一反三:
当x-2V0时,原方程可化为-(x-2)=3,得x=-1.
所以x=5和x=-1都是方程|x-2|=3的解.
【总结升华】如图所示,可以看出点-1与5到点2的距离均为3,所以|x-2|=3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数,即方程|x-2|=3的解为x=-1和x=5.
-1012345
举一反三:
【变式1】若关于x的方程|2x—3+m-0无解,|3x-4+n=0只有一个解,4x-5+k=0
有两个解,
则m,n,k的大小关系为:()
>n>>k>>m>>k>n
【答案】A
11
【变式2】若x二9是方程3x—2二m的解,则m二__;又若当n二1时,则方程3x—2二n的解是一.
【答案】1;9或3.
类型四、一元一次方程的应用
,如果每小时行30千米,那么比火车开车时间早到15分钟;若每小时行18千米,则比火车开车时间迟到15分钟,现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站,求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
思路点拨】本题中的两个不变量为:火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变答案与解析】
解:设李伟从家到火车站的路程为y千米,则有:
2+15=_y—15,解得:y=45
30601860解得:y2
45
V151
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为幺+=1(小时).
3060
李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时,设李伟骑摩托车的速度为x千米/时,则有:
45
x=110=110=27(千米/时)
1—1—-
6060
答:李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时
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举一反三:
【总结升华】在解决问题时,当发现某种方法不能解决问题时,应该及时变换思维角度,如本题直接设未知数较难时,应迅速变换思维的角度,合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法.
&(2015春•万州区校级月考)一项工程,甲单独做要10天完成,乙单独做要15天完成,两人合做4天后,剩下的部分由乙单独做,还需要几天完成?
【答案与解析】
解:设乙还需x天完成,由题意得
解得x=5.
答:乙还需5天完成.
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用,解决问题的关键是找到所求的量的等量关
,为了简便,可设其为1.
举一反三:
【变式】某商品进价2000元,标价4000元,商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品?
【答案】
解:设售货员可以打x折出售此商品,得:
=2000(1+20%),
解得::售货员最低可以打六折出售此商品
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举一反三: