实数知识点和练习.docx

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第六章实数
知识网络:
考点一,实数的概念及分类
1,实数的分类
2,无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,…等;
(4)某些三角函数,如sin60o等(这类在初三会出现)
推断一个数是否是无理数,不能只看形式,要看运算结果,如是有理数,而不是无理数。
3,有理数及无理数的区分
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;
(2)全部的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
考点二,平方根,算术平方根,立方根
1,概念,定义
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(1)假如一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
(2)假如一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。假如,那么x叫做a的平方根。
(3)假如一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。假如,那么x叫做a的立方根。
2,运算名称
(1)求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方及开平方互为逆运算。
(2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
3,运算符号
(1)正数a的算术平方根,记作“”。
(2)a(a≥0)的平方根的符号表达为。
(3)一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数。
4,运算公式
4,开方规律小结
(1)若a≥0,则a的平方根是,a的算术平方根;正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。
实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号及被开方数的符号相同。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,
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0的立方根是0。
(2)若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为随意实数,则a的立方根是。
(3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
考点三,实数的性质
有理数的一些概念,如倒数,相反数,肯定值等,在实数范围内仍旧不变。
1,相反数
(1)实数a的相反数是-a;实数及它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零)
(2)从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,假如a及b互为相反数,则有a+b=0,a=-b,反之亦成立。
2,肯定值
(1)要正确的理解肯定值的几何意义,它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离,数轴分为正负两半,那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。
(2)若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0,零的肯定值是它本身。
(3)
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3,倒数
(1)假如a及b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。实数a的倒数是1/a(a≠0)
(2)倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点四,实数的三个非负性及性质
1,在实数范围内,正数和零统称为非负数。
2,非负数有三种形式
(1)任何一个实数a的肯定值是非负数,即|a|≥0;
(2)任何一个实数a的平方是非负数,即≥0;
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即()。
3,非负数具有以下性质
(1)非负数有最小值零;
(2)非负数之和仍是非负数;
(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.
考点五,实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,肯定值大的反而小;
(2)实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;
(3)两个数比较大小常见的方法有:求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法。
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(4)对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围,要想正确估算需记熟0~20之间整数的平方和0~10之间整数的立方.
考点六,实数的运算
(1)在实数范围内,可以进行加,减,乘,除,乘方及开方运算
(2)有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍旧成立
(3)实数混合运算的运算顺序及有理数的运算顺序基本相同,先乘方,开方,再乘除,最终算加减。同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里。
(4)在实数的运算中,当遇到无理数时,并且须要求结果的近似值时,可以依据所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算。
(1)
知识点:
:一般地,假如一个正数的平方等于a,那么这个正数叫做a的算术平方根。A叫做被开方数。
平方根:假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根
平方根的性质:正数有两个平方根,互为相反数
0的平方根是0
负数没有平方根
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同步练习:
一,基础训练
()A.-.±
()
A.=±2B.=9C.=.=-6
()
±2
±-1的实数是-1
()A.±8B.±4C.±2D.±
5.-的平方的立方根是().-D.
;9的立方根是_______.
:≈_______.≈_______(保留4个有效数字)
.
(1)100;(2)0;(3);(4)1;(5)1;(6).
:(1)-;(2);(3);(4)±.
二,实力训练
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,则它后面一个数的算术平方根是()
++1C.+1D.
-4及3m-1是同一个数的平方根,则m的值是()
A.-.-3或1D.-1
,y是实数,且+(y-3)2=0,则xy的值是()
.-.-
,算术平方根比4小,则这个数是_______.
,重新铸造出8个半径相同的小铁球,不计损耗,小铁球的半径是多少厘米?(球的体积公式为V=R3)
三,综合训练
,立方根来解下列方程.
(1)(2x-1)2-169=0;(2)4(3x+1)2-1=0;
(3)x3-2=0;(4)(x+3)3=4.
平方根第2课时
要点感知1一般地,假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的__________或__________,这就是说,假如x2=a,那么x叫做a的__________.
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预习练方根是__________.
1-236的平方根是__________,-4是__________的一个平方根.
要点感知2求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,,它们__________;0的平方根是__________;负数__________.
预习练习2-1下列各数:0,(-2)2,-22,-(-5)中,没有平方根的是__________.
2-2下列各数是否有平方根?若有,求出它的平方根;若没有,请说明为什么?
(1)(-3)2;(2)-42;(3)-(a2+1).
要点感知3正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根可以用表示__________,正数a的平方根可以用表示__________,读作“__________”.
预习练习3-1计算:±=__________,-=__________,=__________.
知识点1平方根
().±.±8
()
.-
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±
()


:
a
2
-2
a2
81
225
:
(1)100;(2);(3).
知识点2平方根及算术平方根的关系
()
±
.-5是25的一个平方根
,面积为S,则()
=±=
:
(1)(-5)2;(2)0;(3)-2;(4).
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-144=0,且x是正数,求2的值.
()
,所以9的平方根为3
-3的平方等于9,所以9的平方根为-3
(-3)2中有-3,所以(-3)2没有平方根
-9是负数,所以-9没有平方根
11.|-9|的平方根是()
.±.-3
:=__________,-=__________,±=__________.
,则m的另一个平方根为__________.
:
(1);(2)-;(3)±.
:
(1)9x2-25=0;(2)4(2x-1)2=36.
在物理学中,电流做功的功率P=I2R,试用含P,R的式子表示I,并求当P=25,R=4时,I的值.
17.(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5,这个非负数是多少?
(2)已知a-1和5-2a是m的平方根,求a及m的值.