线性代数LinearAlgebra刘鹏.ppt

线性代数Linear Algebra刘鹏
复旦大学通信科学与工程系
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第四章线性空间与欧氏空间
一、线性空间的定义
设 V 是一个非空集合,如果它的任意元素: (1) 对加法与数量乘法两种运算封闭; (2) 满足以下 8 种运算规律(公理)
(1) + = + 
(2) (+ ) + = + ( + )
(3) + 0 = 
(4) + (-) = 0
(5) k (+ ) = k+ k
(6) ( k + l ) = k+ l
(7) ( k l ) = k ( l)
(8) 1·= 
2 .判别线性空间的方法:一个集合,它如果
1. 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算, 称为线性运算.
对于加法及数乘运算不封闭(不满足闭包性);
或者,不满足八条运算性质的任一条;
则不能构成线性空间.
人们经常把线性空间称为向量空间
把线性空间中的元素称为向量.
二、子空间的概念(线性空间局部与整体的关系)
定义 : 设 W 是数域 P 上线性空间 V 的 一个子集,若满足条件:
(1) W 是非空的;
(2) 如果α,β∈ W, 则α+β∈ W;
(3) 如果α∈ W, λ∈ P 则λα∈ W;
那么 W 是 V 的一个子空间.
生成元(子空间自成体系)
设α1, α2, ..., αn 是数域 P 上线性空间 V 中的一组向量,考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合
是V的一个子空间,称它为由α1, α2, ..., αn 生成/ 张成的子空间(generated/spanned by …) ,记为:
向量组α1, α2, ..., αn 称为此子空间的生成元(generator).
§ 基、维数和坐标
定义 : 线性空间 V 中向量组ε1, ε2 , ..., εn ,如果它满足条件:
(1) ε1, ε2 , ..., εn线性无关;
(2) 线性空间 V 中任一向量α都可经ε1, ε2 , ..., εn线性表示.
则称此向量组是线性空间 V 的一个基(basis).
定义 : 如果线性空间 V 的一个基所含向量个数为 n,则称 V 为 n 维空间, 记为 dim V = n.
定理 : 设α1, α2, ..., αl 是 n 维线性空间 V 中l 个向量,在 V 中取定一个基ε1,ε2,...,εn ,如果αj 在此基下的坐标为
则向量组α1,α2 ,...,αl 线性相关的充分必要条件是矩阵
的秩 rA< l .
线性无关的充要条件是 rA= l. 稍后用到
由向量组坐标矩阵的秩判定其线性相关性.
二、向量的坐标
定义 : 设向量组ε1,ε2,...,εn 是 n 维线性空间 V 的一个基,α是 V 中任意一个向量,则有
称数组 x1 , x2 ,…, xn 为向量α在基ε1,ε2,...,εn下的坐标(coordinates) ,记为[x1 , x2 ,…, xn ]T
任意一个向量α在一个确定的基下的坐标 是唯一的.
行空间和列空间的概念(补充)
矩阵Am×n 可以看作由行向量/列向量构成.
定义: 由A 的行向量张成的子空间为A 的行空间(row space);由A 的列向量张成的子空间为A 的列空间(column space).
例设
A 的行空间为如下形式
A 的列空间为
A 的行/列空间的维数为矩阵的秩.
A 的行空间维数= 列空间维数.
用行/列空间的概念研究线性方程组
方程组 A X = b 可以写作
定理: (线性方程组相容) A X = b 相容的充要条件是 b 在 A 的列空间中,或A的列空间包含 b .
R(Amn) = {Ax | x  Rn}  Rm
——系数矩阵 A 的列空间