新课标高中数学必修一至必修五知识点总结.docx

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高中数学常用公式及结论大全(新课标)
必修1
1,集合的含义及表示
一般地,我们把探讨对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性,互异性,无序性。集合的表示有列举法,描述法。
描述法格式为:{元素|元素的特征},例如
2,常用数集及其表示方法
(1)自然数集N(又称非负整数集):0,1,2,3,……
(2)正整数集N*或N+:1,2,3,……
(3)整数集Z:-2,-1,0,1,……
(4)有理数集Q:包含分数,整数,有限小数等
(5)实数集R:全体实数的集合
(6)空集Ф:不含任何元素的集合
3,元素及集合的关系:属于∈,不属于
例如:a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
4,集合及集合的关系:子集,真子集,相等
(1)子集的概念
B
A
A,B
(图1)
或
假如集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如图1),记作或.
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若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,
记作
(2)真子集的概念
B
A
(图2)
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2).AB或BA.
(3)集合相等:若集合A中的元素及集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
5,重要结论(1)传递性:若,,则
(2)空Ф集是随意集合的子集,是随意非空集合的真子集.
AB
6,含有个元素的集合,它的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个(即不计空集);非空的真子集有–2个.
7,集合的运算:交集,并集,补集
(1)一般地,由全部属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
AB
(2)一般地,对于给定的两个集合A,B把它们全部的元素并在一起所组成的集合,叫做A,∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)若A是全集U的子集,由U中不属于A的元素构成的集合,
A
叫做A在U中的补集,记作,
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注:探讨集合的状况时,不要发遗忘了的状况。
8,映射观点下的函数概念
假如A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈=f(x)的定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(x).
9,分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如
10,求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
①分式的分母不为零;
②偶次方根的被开方数大于或等于零;
③对数的底数大于0且不等于1;
④对数的真数大于0;
⑤指数为0的底不能为零;,则
11,函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(1)奇函数满意,奇函数的图象关于原点对称;
(2)偶函数满意,偶函数的图象关于y轴对称;
注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则
③依据奇偶性可将函数分为四类:奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数。
12,函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当时,都有,则在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
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当时,都有,则在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
函数在某区间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间
13,一元二次方程
(1)求根公式:(2)判别式:
(3)时方程有两个不等实根;时方程有一个实根;时方程无实根。
(4)根及系数的关系——韦达定理:,
14,二次函数:一般式;两根式
x
y
0
(1)顶点坐标为;(2)对称轴方程为:x=;
(3)当时,图象是开口向上的抛物线,在x=处取得最小值
当时,图象是开口向下的抛物线,在x=处取得最大值
(4)二次函数图象及轴的交点个数和判别式的关系:
时,有两个交点;时,有一个交点(即顶点);时,无交点。
15,函数的零点
使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。
注:函数有零点函数的图象及轴有交点方程有实根
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16,函数零点的判定:
假如函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有。那么,函数在区间内有零点,即存在。
17,分数指数幂(,且)
(1).如;(2).如;(3);
x
y
0
1
y
图
象
1
0
x
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
(4)当为奇数时,;当为偶数时,.
18,有理指数幂的运算性质()
(1);(2);(3)
19,指数函数(且),其中是自变量,叫做底数,定义域是R
20,若,则叫做以为底的对数。记作:(,)
其中,叫做对数的底数,叫做对数的真数。
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注:指数式及对数式的互化公式:
21,对数的性质
(1)零和负数没有对数,即中;
(2)1的对数等于0,即;底数的对数等于1,即
22,常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,记为:
自然对数:以e(e=…)为底的对数叫做自然对数,记为:
23,对数恒等式:
24,对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1);(2);
(3)(留意公式的逆用)
25,对数的换底公式(,且,,且,).
推论①或;②.
26,对数函数(,且):其中,是自变量,叫做底数,定义域是
图像
x
1
y
0
1
x
0
性质
定义域:(0,∞)
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值域:R
过定点(1,0)
增函数
减函数
取值范围
0<x<1时,y<0
x>1时,y>0
0<x<1时,y>0
x>1时,y<0
27,指数函数及对数函数互为反函数;它们图象关于直线对称.
28,幂函数(),其中是自变量。要求驾驭这五种状况(如下图)
29,幂函数的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)全部幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
1
1
1
1
1
1
(Ⅱ)当时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间上是增函数.
(Ⅲ)当时,幂函数的图象在区间上是减函数.
必修2
30,边长为的等边三角形面积
31,柱体体积:,锥体体积:
球表面积公式:,球体积公式:(上述四个公式不要求记忆)
32,四个公理:
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① 假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
② 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
③ 假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④ 平行于同始终线的两条直线平行(平行的传递性)。
1
2
3
33,等角定理:
空间中假如两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图)
:(不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点)
:(在同一平面内,没有公共点)
:(在同一平面内,有一个公共点)
34,两条直线的位置关系:
直线及平面的位置关系:
(1)直线在平面上;(2)直线在平面外(包括直线及平面平行,直线及平面相交)
两个平面的位置关系:(1)两个平面平行;(2)两个平面相交
35,直线及平面平行:
定义 一条直线及一个平面没有公共点,则这条直线及这个平面平行。
判定 平面外一条直线及此平面内的始终线平行,则该直线及此平面平行。
性质 一条直线及一个平面平行,则过这条直线的任一平面及此平面的交线及该直线平行。
第9页
36,平面及平面平行:
定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。
判定 若一个平面内有两条相交直线及另一个平面平行,则这两个平面平 行。
性质 ① 假如两个平面平行,则其中一个面内的任始终线及另一个平面平行。
② 假如两个平行平面同时及第三个平面相交,那么它们交线平行。
37,直线及平面垂直:
定义 假如一条直线及一个平面内的任始终线都垂直,则这条直线及这个平面垂直。
判定 一条直线及一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线及这个平面垂直。
性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条及一个平面垂直,则另一条也及这个平面垂直。
38,平面及平面垂直:
定义 两个平行相交,假如它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。
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判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线及另一个平面垂直。
39,三角形的五“心”
(1)为的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等
(2)为的重心(各边中线的交点).重心将中线分成2:1的两段
(3)为的垂心(各边高的交点).
(4)为的内心(各内角平分线的交点).内心到三边的距离相等
(5)为的的旁心(各外角平分线的交点).
40,直线的斜率:
(1)过两点的直线,斜率,()
(2)已知倾斜角为的直线,斜率(
(3)曲线在点(处的切线,其斜率
41,直线位置关系:已知两直线,则
特别状况:(1)当都不存在时,;(2)当不存在而时,
42,直线的五种方程:
①点斜式(直线过点,斜率为).
②斜截式(直线在轴上的截距为,斜率为).
③两点式(直线过两点及).