初二数学一次函数知识点总结全面.doc

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基本概念
1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题:在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中,变量是________,常量是_________.
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候,Y是否有唯一确定的值与之对应
例题:下列函数(1)y=πx(2)y=2x-1(3)y=(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1中,是一次函数的有()
(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个
3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:
(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
例题:下列函数中,自变量x的取值范围是x≥2的是()
====·
函数中自变量x的取值范围是___________.
已知函数,当时,y的取值范围是()
.
5、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
必过点:(0,0)、(1,k)
走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限
增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
例题:.正比例函数,当m时,y随x的增大而增大.
若是正比例函数,则b的值是()
.
.函数y=(k-1)x,y随x增大而减小,则k的范围是()
.
,那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x(个)之间的函数关系式是_______________.
平行四边形相邻的两边长为x、y,周长是30,则y与x的函数关系式是__________.
10、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)
(2)必过点:(0,b)和(-,0)
(3)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题:若关于x的函数是一次函数,则m=,n.
.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是()
将直线y=3x向下平移5个单位,得到直线;将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线.
若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
已知函数y=3x+1,当自变量增加m时,相应的函数值增加()
+-1
11、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
若m<0,n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过()

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)两直线平行:k1=k2且b1b2
(2)两直线相交:k1k2
(3)两直线重合:k1=k2且b1=b2
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.
17、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
函数性质:
,比值为k.
即:y=kx+b(k,b为常数,k≠0),
∵当x增加m,k(x+m)+b=y+km,km/m=k。
=0时,b为函数在y轴上的点,坐标为(0,b)。
3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
:
当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行;
当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;
当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。
若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数,k不等于0)则称y是x的一次函数
图像性质
:通过如下3个步骤:
(1)列表.
(2)描点;[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点画直线即可。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点。
(3)连线,可以作出一次函数的图象——一条直线。因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0,0与b).
:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。
,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
,b与函数图像所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比例):
当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限;
当b>0时,直线必通过第一、二象限;
当b<0时,直线必通过第三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,不会通过第二、四象限。当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
4、特殊位置关系:
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
)③点斜式 y-y1=k(x-x1)(k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)④两点式 (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(已知直线上(x1,y1)与(x2,y3)两点)⑤截距式 (a、b分别为直线在x、y轴上的截距)⑥实用型(由实际问题来做)
用公式
:(y1-y2)/(x1-x2)
:|x1-x2|/2
:|y1-y2|/2
:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
:解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则(x0,y0)即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
:(X-x1)/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为0,则分子为0)
xy
+,+(正,正)在第一象限
-,+(负,正)在第二象限
-,-(负,负)在第三象限
+,-(正,负)在第四象限
=k1x+b1∥y2=k2x+b2,那么k1=k2,b1≠b2
=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,那么k1×k2=-1
10.
y=k(x-n)+b就是向右平移n个单位
y=k(x+n)+b就是向左平移n个单位
一次函数的平移
口诀:右减左加(对于y=kx+b来说,只改变b)
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀:上加下减(对于y=kx+b来说,只改变b)相关应用
生活中的应用
,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)
数学问题
一、确定字母系数的取值范围
例1已知正比例函数,则当k<0时,y随x的增大而减小。
解:根据正比例函数的定义和性质,得且m<0,即且,所以。
二、比较x值或y值的大小
(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=3x+4的图象上的两个点,且y1>y2,则x1与x2的大小关系是()
><=
解:根据题意,知k=3>0,且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时,y随x的增大而增大”,得x1>x2。故选A。
三、判断函数图象的位置
=kx+b满足kb>0,且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过()


解:由kb>0,知k、b同号。因为y随x的增大而减小,所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限。故选A.
典型例题
,不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长,,,求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg),求自变量x的取值范围.
分析:此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题,同时也是实际问题,其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和,而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解:由题意设所求函数为y=kx+12
=3k+12,得k=
∴所求函数解析式为y=+12
由23=+12得:x=
∴自变量x的取值范围是0≤x≤
例2某学校需刻录一些电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元,若学校自刻,除租用刻录机120元外,每张还需成本4元,问这些光盘是到电脑公司刻录,还是学校自己刻费用较省?
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元,刻录X张
电脑公司:Y1=8X
学校:Y2=4X+120
当X=30时,Y1=Y2
当X>30时,Y1>Y2
当X<30时,Y1<Y2例1.
(1)y与x成正比例函数,当时,y=.
(2)已知一次函数的图象经过A(-1,2)和B(3,-5)两点,求此一次函数的解析式.
解:(1)设所求正比例函数的解析式为
把,y=5代入上式
得,解之,得
∴所求正比例函数的解析式为
(2)设所求一次函数的解析式为
∵此图象经过A(-1,2)、B(3,-5)两点,此两点的坐标必满足,将、y=2和x=3、分别代入上式,得
解得
∴此一次函数的解析式为
点评:(1)不能化成带分数.(2)所设定的解析式中有几个待定系数,就需根据已知条件列几个方程.
,油箱中有油20升,如果每小时耗油5升,求油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的函数关系式,指出自变量x的取值范围,并且画出图象.
分析:拖拉机一小时耗油5升,t小时耗油5t升,以20升减去5t升就是余下的油量.
解:
图象如下图所示
点评:,它是一条线段,而不是一条直线.
(-2,0),且与两坐标轴截得的三角形面积为3,求此一次函数的解析式.
分析:从图中可以看出,过点P作一次函数的图象,和y轴的交点可能在y轴正半轴上,也可能在y轴负半轴上,因此应分两种情况进行研究,这就是分类讨论的数学思想方法.
解:设所求一次函数解析式为
∵点P的坐标为(-2,0)
∴|OP|=2
设函数图象与y轴交于点B(0,m)
根据题意,SΔPOB=3
∴|m|=3
∴一次函数的图象与y轴交于B1(0,3)或B2(0,-3)
将P(-2,0)及B1(0,3)或P(-2,0)及B2(0,-3)的坐标代入y=kx+b中,得
解得
∴所求一次函数的解析式为
点评:(1),一定要考虑到方向,,防止丢掉一条直线.(2)涉及面积问题,选择直角三角形两条直角边乘积的一半,结果一定要得正值.
【考点指要】
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点,、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起,以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中,、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例3如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6,相应的函数值的范围是-11≤y≤。
解:
(1)若k>0,则可以列方程组-2k+b=-11
6k+b=9
解得k==-6,则此时的函数关系式为y=—6
(2)若k<0,则可以列方程组-2k+b=9
6k+b=-11
解得k=-=4,则此时的函数解析式为y=-+4
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解,若k>0,则y随x的增大而增大;若k<0,则y随x的增大而减小。
综合测试
一、 选择题:
=kx的图象经过一、三象限,则k的取值范围是()
≠<>
,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度y(cm)与燃烧时间x(小时)的函数关系用图象表示为()
3.(北京市)一次函数的图象不经过的象限是()

4.(陕西省课改实验区)直线与x轴、y轴所围成的三角形的面积为()
.
5.(海南省)一次函数的大致图象是()
二、 填空题:
=kx+b的图象经过(0,1)和(-1,3)两点,则此函数的解析式为_____________.
2.(2006年北京市中考题)若正比例函数y=kx的图象经过点(1,2),则此函数的解析式为_____________.
三、
一次函数的图象与y轴的交点为(0,-3),且与坐标轴围成的三角形的面积为6,求这个一次函数的解析式.
四、(芜湖市课改实验区)
某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前,测得该种机车机械效率η和海拔高度h(,单位km)的函数关系式如图所示.
(1)请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h(km)的函数关系;
(2)求在海拔3km的高度运行时,该机车的机械效率为多少?
五、(浙江省丽水市)
如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系,,双方场地的长OA=OB=(米).羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀,球从球网上端的点E直线飞过,,刚好落在对方场地点B处.
(1)求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式;
(2)在这次直线扣杀中,羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米?()
【综合测试答案】
一、选择题:

二、填空题:
=-2x+=2x
三、分析:一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数,,即图象和y轴的交点的纵坐标是-3,另一个条件比较隐蔽,需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.
解:设一次函数的解析式为y=kx+b,
∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是-3,
∴
∴函数的解析式为.
求这个函数图象与x轴的交点,即解方程组:
得
即交点坐标为(,0)
由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6,由三角形面积公式,得
∴
∴
∴这个一次函数的解析式为
四、解:(1)由图象可知,与h的函数关系为一次函数
设
∵此函数图象经过(0,40%),(5,20%)两点
∴解得
∴
(2)当h=3km时,
∴当机车运行在海拔高度为3km的时候,该机车的机械效率为28%
五、解:(1)依题意,设直线BF为y=kx+b
∵OD=,DE=
∴
即点E的坐标为(0,)
又∵OA=OB=
∴点B的坐标为(-,0)
由于直线经过点E(0,)和点B(-,0),得
解得,即:
(2)设点F的坐标为(5,),则当x=5时,
则FC=
∴在这次直线扣杀中,
常见题型
常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。
,求其解析式。解:由一次函数定义知,故一次函数的解析式为注意:利用定义求一次函数解析式时,要保证。如本例中应保证
(2,-1),求这个函数的解析式。解:一次函数的图像过点(2,-1),即故这个一次函数的解析式为变式问法:已知一次函数,当时,y=-1,求这个函数的解析式。