二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用).doc

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一、定义:一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.
例:已知关于x的函数)当a,b,c满足什么条件时
(1)是一次函数(2)是正比例函数(3)是二次函数
y
x
O
二、二次函数是常数,的性质
(1)①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
③||越大,开口越小。
(2)顶点是,对称轴是直线
(3)①当时,在对称轴左边,y随x的增大而减小;在在对称轴右边,y随x的增大而增大;
②当时,在对称轴左边,y随x的增大而增大;在在对称轴右边,y随x的增大而减小。
(4)轴与抛物线得交点为(0,)
例:1、(2011四川重庆,7,4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是()
山东威海题图
><<+b+c>0
练习:1、(2011山东威海,7,3分)<0时,自变量x的取值范围是().
A.-1<x<3 <-1 >3 <-1或x>3
2、(2010湖北孝感,12,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<()

三、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:,顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:的顶点为(,),对称轴是直线.
(3)利用交点式求对称轴及顶点:,对称轴为
例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴:
(1)(2)(3)
例2、2011江苏淮安,14,3分)抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.(1,-4)
四、抛物线的平移
方法1:计算机两条抛物线的顶点,由顶点判定平移情况
方法2:将函数换成顶点式,用口决“(x)左加右减,上加下减”
抛物线经过怎样平移得到
例2、(2011四川乐山5,3分)将抛物线向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是()
.
例3、(2011重庆江津,18,4分)将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.
练移得到
2、抛物线向左平移2个单位,再向上移3个单位得到,求b和c。
3、(2011山东滨州,7,3分)抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是()
,再向上平移3个单位
,再向下平移3个单位
,再向下平移3个单位
,再向上平移3个单位
五、用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:.已知图像上三点或三对、的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式:.
(4)一般式与顶点式的变换
例:1、根据已知条件确定下列函数的解析式:
(1)已知抛物线过
(2)已知抛物线的顶点在x轴上,且过点(1,0)、(-2,4);
(3)已知抛物线的顶点坐标为(-2,0),过点(1,4)
例2、将()
练习:1、将
2、(2011山东济宁,12,3分)将二次函数化为的形式,则()
七、与一元二次方程的关系
>0
=0
<0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
抛物物与x轴有两个交点
抛物物与x轴只有一个交点
抛物物与x轴没有交点
韦达定理:(二者都可以用)
例1、(2011台湾台北,32)如图(十四),将二次函数的图形画在坐标平面上,判断方程式的两根,下列叙述何者正确?()
,,且只有一个正根
,,且为负根
例2、.抛物线与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,则AB的长为,三角形ABC的面积是。
练习:(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.()
2.(2011湖北襄阳,12,3分)已知函数的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()
A. B.
3、(2011广东东莞,15,6分)已知抛物线与x轴有交点.
(1)求c的取值范围;
(2)试确定直线y=cx+l经过的象限,并说明理由.
八、二次函数的应用
1、求是常数,最大值或最小值
①,函数有最小值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标;
②,函数有最大值为顶点的纵坐标,此时x等于顶点的横坐标。
2、面积问题,主要利用各种图形的面积公式,如三角形面积=底
3、利润问题:利润=销量(售价-进价)-其他
4、拱桥问题
例1、(2011广东肇庆,10,3分)二次函数有()

例2、一块矩形耕地大小尺寸如图所示(单位:m),要在这块土地上沿东西方向挖一条水渠,沿南北方向挖两条水渠,水渠的宽为x(m),余下的可耕地面积为y()。
请你写出y与x之间的解析式;
根据你写出的函数解析式,当水渠的宽度为1m时,余下的可耕地面积为多少?
若余下的耕地面积为4408,求此时水渠的宽度。
例3、某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数:m=162-3x.
写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
如果商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的定价为多少最合适?最大销售利润为多少?
练习:1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品。据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请解答下列问题:
当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
设销售单价为每千克X元,月销售利润为Y元,求Y与X的函数关系式(不必写出X的取值范围);
商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
3、.如图6,,,将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线形状,,其头部刚好触到绳子,求绳子最低点到地面的距离。 (答案:)
图6
:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0,)
(,0)
(,)
()