高中向量知识点归纳.docx

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一、平面向量的概念及线性运算

名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0

向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:a+b=b+a.(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.
二、平面向量基本定理及坐标表示

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
三、平面向量的数量积

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

(1)e·a=a·e=|a|cosθ;
(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;
当a与b反向时,a·b=-|a||b|,a·a=a2,|a|=;
(4)cosθ=;
(5)|a·b|__≤__|a||b|.

(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到
(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离|AB|=||=.
(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.