平面向量知识点总结(精华).doc

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一、向量的基本概念
:既有大小又有方向的量,.
注意:不能说向量就是有向线段,为什么?提示:向量可以平移.
举例1已知,,:
:长度为0的向量叫零向量,记作:,规定:零向量的方向是任意的;
:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是);
:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,
规定:零向量和任何向量平行.
注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有);
④三点共线共线.
:.
举例2如下列命题:(1)若,则.
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.
(3)若,则是平行四边形.
(4)若是平行四边形,则.
(5)若,,则.
(6)若,:(4)(5)
二、向量的表示方法
:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;
:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;
:在平面内建立直角坐标系,以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底,则平面内的任一向量可表示为,称为向量的坐标,叫做向量的坐标表示.
结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设同一平面内的一组基底向量,是该平面内任一向量,则存在唯一实数对,使.
(1)定理核心:;(2)从左向右看,是对向量的分解,且表达式唯一;反之,是对向量的合成.
(3)向量的正交分解:当时,就说为对向量的正交分解.
举例3(1)若,,,:.
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是B
A.,B.,C.,D.,
(3)已知分别是的边,上的中线,且,,:.
(4)已知中,点在边上,且,,:0.
四、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下:
(1)模:;
(2)方向:当时,的方向与的方向相同,当时,的方向与的方向相反,当时,,
注意:.
五、平面向量的数量积
:对于非零向量,,作,,则把称为向量,的夹角.
当时,,同向;当时,,反向;当时,,垂直.
:如果两个非零向量,,它们的夹角为,我们把数量叫做与的数量积(或内积或点积),记作:,即.
规定:零向量与任一向量的数量积是0.
注:数量积是一个实数,不再是一个向量.
举例4(1)中,,,,:.
(2)已知,,,,与的夹角为,:1.
(3)已知,,,:.
(4)已知是两个非零向量,且,:.
:,它是一个实数,但不一定大于0.
举例5已知,,且,:.
:数量积等于的模与在上的投影的积.
:设两个非零向量,,其夹角为,则:
(1);
(2)当、同向时,,特别地,;
是、同向的充要分条件;
当、反向时,,是、反向的充要分条件;
当为锐角时,,且、不同向,是为锐角的必要不充分条件;
当为钝角时,,且、不反向;是为钝角的必要不充分条件.
(3)非零向量,夹角的计算公式:;④.
举例6(1)已知,,如果与的夹角为锐角,:或且;
(2)已知的面积为,且,若,则,:;
(3)已知,,且满足(其中).
①用表示;②求的最小值,:
①;②最小值为,.
六、向量的运算

(1)向量加法
运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则.
运算形式:若,,则向量叫做与的和,即;
作图:略.
注:平行四边形法则只适用于不共线的向量.
(2)向量的减法
运算法则:三角形法则.
运算形式:若,,则,即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图:略.
注:减向量与被减向量的起点相同.
举例7(1)化简:①;②;③.结果:①;②;③;
(2)若正方形的边长为1,,,,:;
(3)若是所在平面内一点,且满足,:直角三角形;
(4)若为的边的中点,所在平面内有一点,满足,设,:2;
(5)若点是的外心,且,:.
:设,,则
(1)向量的加减法运算:,.
举例8(1)已知点,,,若,则当____时,点在第一、:;
(2)已知,,且,,:或;
(3)已知作用在点的三个力,,,:.
(2)实数与向量的积:.
(3)若,,则,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
举例9设,,且,,:.
(4)平面向量数量积:.
举例10已知向量,,.
(1)若,求向量、的夹角;
(2)若,函数的最大值为,:(1);(2)或.
(5)向量的模:.
举例11已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=.结果:.
(6)两点间的距离:若,,则.
举例12如图,在平面斜坐标系中,,平面上任一点关于斜坐标系
的斜坐标是这样定义的:若,其中分别为与轴、轴同方向的单
位向量,则点斜坐标为.
(1)若点的斜坐标为,求到的距离;
(2)求以为圆心,1为半径的圆在斜坐标系中的方程.
结果:(1)2;(2).
七、向量的运算律
:,,;
:,,;
:,,.
举例13给出下列命题:①;②;③;
④若,则或;⑤若则;⑥;⑦;⑧;⑨.
:①⑥⑨.
说明:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即,为什么?
八、向量平行(共线)的充要条件
.
举例14(1)若向量,,当_____时,:2.
(2)已知,,,,且,:4.
(3)设,,,则_____时,:或11.
九、向量垂直的充要条件
.
特别地.
举例15(1)已知,,若,:;
(2)以原点和为两个顶点作等腰直角三角形,,:(1,3)或(3,-1));
(3)已知向量,且,:或.
十、线段的定比分点
:设点是直线上异于、的任意一点,若存在一个实数,使,则实数叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以定比为的定比分点.

(1)内分线段,即点在线段上;
(2)外分线段时,①点在线段的延长线上,②点在线段的反向延长线上.
注:若点分有向线段所成的比为,则点分有向线段所成的比为.
举例16若点分所成的比为,:.
:
设,,点分有向线段所成的比为,则定比分点坐标公式为
.
特别地,当时,就得到线段的中点坐标公式
说明:(1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确,、的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.
(2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比.
举例17(1)若,,且,:;
(2)已知,,直线与线段交于,且,:2或.
十一、平移公式
如果点按向量平移至,则;曲线按向量平移得曲线.
说明:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!
举例18(1)按向量把平移到,:;
(2)函数的图象按向量平移后,所得函数的解析式是,:.
十二、向量中一些常用的结论
,要注意运用;
:.
(1)右边等号成立条件:同向或中有;
(2)左边等号成立条件:反向或中有;
(3)当不共线.

在中,若,,,则其重心的坐标为.
举例19若的三边的中点分别为、、,:.
“三心”的向量表示
(1)为△的重心,特别地为△的重心.
(2)为△的垂心.
(3)为△的内心;向量所在直线过△的内心.

设点分有向线段所成的比为,若为平面内的任一点,则,特别地为有向线段的中点.
,使得且.
举例20平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点,,若点满足,其中且,:直线.