人教版八年级数学下知识点总结.doc

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第十六章二次根式
二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。
二次根式有意义的条件:大于或等于0。
二次根式的双重非负性::,‚
附:具有非负性的式子:;‚;ƒ
:必须同时满足下列条件:
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。
:
二次根式化成最简二次根式后,若被相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
(>0)
(<0)
0(=0);
:
(1)()2=(≥0);(2)
:
(1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.
(2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.
=·(a≥0,b≥0);(b≥0,a>0).
(3)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算.
【典型例题】
1、概念与性质
例1下列各式1),
其中是二次根式的是_________(填序号).
例2、求下列二次根式中字母的取值范围
;(2)
例3、在根式1),最简二次根式是()
)2))4))3))4)
例4、已知:
例5、(2009龙岩)已知数a,b,若=b-a,则(  )
>b   <b ≥b   ≤b
2、二次根式的化简与计算
,得(  )
A.;  B.-;  C.-;  D.
(a-b)化成最简二次根式
例3、计算:
例4、先化简,再求值:
,其中a=,b=.
例5、如图,实数、在数轴上的位置,化简:
4、比较数值
(1)、根式变形法
当时,①如果,则;②如果,则。
例1、比较与的大小。
(2)、平方法
当时,①如果,则;②如果,则。
例2、比较与的大小。
(3)、分母有理化法
通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
例3、比较与的大小。
(4)、分子有理化法
通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
例4、比较与的大小。
(5)、倒数法
例5、比较与的大小。
(6)、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。
例6、比较与的大小。
(7)、作差比较法
在对两数比较大小时,经常运用如下性质:
①;②
例7、比较与的大小。
(8)、求商比较法
它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:
①;②
例8、比较与的大小。
5、规律性问题
:
,验证:;
验证:.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想的变形结果,并进行验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n≥2,且n是整数)表示的等式,并给出验证过程.
第十七章勾股定理
:如果直角三角形的两直角边长分别为,b,斜边长为c,那么。
应用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边(在中,,则,,)
(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。
勾股定理逆定理:如果三角形三边长,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。
应用:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
(定理中,,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,,满足,那么以,,为三边的三角形是直角三角形,但是为斜边)
3、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,,,为正整数时,称,,为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等
③勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如ka,kb,kc

(1)直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90°∠A+∠B=90°
(2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
BC=AB
∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
CD=AB=BD=AD
D为AB的中点
。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理)
6、摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
7、常用关系式
由三角形面积公式可得:ABCD=ACBC
8、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。
9、命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句,叫做命题。
理解:命题的定义包括两层含义:
(1)命题必须是个完整的句子;
(2)这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类(按正确、错误与否分)
真命题(正确的命题)
命题
假命题(错误的命题)
所谓正确的命题就是:如果题设成立,那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是:如果题设成立,不能证明结论总是成立的命题。
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题,叫做公理。
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6、证明的一般步骤
(1)根据题意,画出图形。
(2)根据题设、结论、结合图形,写出已知、求证。
(3)经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
10、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
11、数学口诀.
平方差公式:平方差公式有两项,符号相反切记牢,首加尾乘首减尾,莫与完全公式相混淆。
完全平方公式:完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;首±尾括号带平方,尾项符号随中央。
第十八章平行四边形
 
1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 
 
 
角:平行四边形的邻角互补,对角相等;
边:平行四边形两组对边分别平行且相等;
对角线:平行四边形的对角线互相平分; 
面积:①S=底高=ah;         
: 
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;    
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
ƒ一组平行且相等的四边形是平行四边形;
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形;
特殊的平行四边形
矩形
矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的性质
①边:对边平行且相等;②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线互相平分且相等;
3、矩形的判定:
Þ四边形ABCD是矩形.
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的性质:
①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补; ③对角线:对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;
菱形的判定方法:
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
正方形
1、定义:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形
2、正方形的性质:
①边:四条边都相等;②角:四角都是直角; ③对角线:对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分每组对角。
3、正方形的判定方法:
Þ四边形ABCD是正方形.
(四)三角形中位线定理:
三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半.
如图:∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC,DE=BC
(五)几种特殊四边形的面积问题 
① 设矩形ABCD的两邻边长分别为,b,则=ab. 
② 设菱形ABCD的一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为,,则= 
③ 设正方形ABCD的一边长为,则;若正方形的对角线的长为,则
四边形
:
(1)四边形的内角和等于360°;
(2)四边形的外角和等于360°.
:
(1)n边形的内角和等于(n-2)180°;
(2)任意多边形的外角和等于360°.
:
因为ABCD是平行四边形Þ
:
.
:
因为ABCD是矩形Þ

:
Þ四边形ABCD是矩形.