八年级一次函数知识点总结.doc

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基本概念
1、变量::在一个变化过程中只能取同一数值的量.
2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量和,并且对于的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把称为自变量,把称为因变量,是的函数.
*判断是否为的函数,只要看取值确定的时候,是否有唯一确定的值与之对应.
3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域.
4、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义.
5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像:一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
7、图像画法:五点描点法或两点法
8、函数的表示方法:列表法、图像法、解析式法
【概念】
【例1】在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是;常量是.
变式:对于圆的周长公式C=2πR,下列说法中,正确的是( )

【例2】下列函数(1)(2)(3)(4)(5)中,是一次函数的有()

变式:如图可作为函数y=f(x)的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
【定义域问题】
【例3】下列函数中,自变量的取值范围是的是()
,自变量的取值范围是()
≠≤-≥-3且x≠≤2且x≠0
,当时,的取值范围是()
【动点问题】
【例4】如图,何老师早晨出门去锻炼,一段时间内沿⊙O的半圆形O→A→C→B→O路径匀速散步,那么何老师离出发点0的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
变式1:火车匀速通过隧道时,火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示,其中四边形OABC是等腰梯形,则下列结论中正确的是( )


变式2:如图,△ABC为直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四边形DEFG为矩形,DE=2cm,EF=6cm,且点C、B、E、F在同一条直线上,△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移,△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2,( )
A.
B.
C.
D.
变式3:如图,矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发,沿折线AD-,y=S△POC,则y与x的函数关系大致为( )
A.
B.
C.
D.
【拓展】平面直角坐标系xOy中,已知定点A(1,0)和B(0,1).
(1)如图1,若动点C在x轴上运动,则使△ABC为等腰三角形的点C有几个?
(2)过A、B向直线l:y=-2x作垂线,垂足分别为M,N(如图2),试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系,并说明理由.
(3)过A、B向动直线l:y=kx(k>0)作垂线,垂足分别为M,N,请直接写出线段AM、BN、MN之间的数量关系.
函数基本概念练习题
( )
A.
B.
C.
D.
,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=5,BC=3,点P从起点D出发,沿DC、,点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y,,能正确反映y与x的函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
=1对称,其中一部分图象如图所示,点A(x1,y1),点B(x2,y2)在函数图象上,且-1<x1<x2<0,则y1与y2的大小关系为( )
>=<
( )
>-<->-3且x≠≥-3
,在空中,自地面算起,每升高1千米,气温下降若干度(℃).某地空中气温t(℃)与高度h(千米)间的图象如图所示,观察图象,可知:(1)该地面气温为℃.
(2)当高度h=千米时,气温为0℃.
,如:,则.
+b=2,ab=t-1,设S=(a-b)2,则S关于t的函数图象是( )
(不含端点)(不含端点) 
,碰到老邻居,交谈了一会儿,返回途中在读报栏前看了一会儿报,如图是据此情景画出的图象,请你回答下面的问题:
(1)张爷爷在什么地方碰到老邻居的,交谈了多长时间?
(2)读报栏大约离家多少路程?
(3)张爷爷在哪一段路程走得最快?
(4)图中反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?
一次函数
【正比例函数和一次函数及性质】
正比例函数
一次函数
概念
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范围
x为全体实数
图象
一条直线
必过点
(0,0)、(1,)
(0,b)和(-,0)
走向
k>0时,直线经过一、三象限;
k<0时,直线经过二、四象限
k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限
k>0,b<0直线经过第一、三、四象限
k<0,b>0直线经过第一、二、四象限
k<0,b<0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上升)
k<0,y随x的增大而减小.(从左向右下降)
倾斜度
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
图像的
平移
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移个单位;
b<0时,将直线y=kx的图象向下平移个单位.
1、直线()与()的位置关系
(1)两直线平行且(2)两直线相交
(3)两直线重合且(4)两直线垂直
2、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;(3)解方程得出未知系数的值;(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【基本概念理解】
【例1】i)正比例函数y=(3m+5)x,当m时,y随x的增大而增大?
ii)当m为何值时,函数y=-(m-2)x+(m-4)是一次函数?
=(k-1)x+k2-1,当k=时,它是一次函数,当k=时,它是正比例函数.
+2与x-3成正比例,则y是x的( )

变式3:已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当y=4时,求x的值.
【变量取值范围的确定】
【例2】三角形的三条边长分别为3cm、5cm、xcm,则此三角形的周长y(cm)与x(cm)的函数关系式是.
变式1:函数,如果,那么的取值范围是.
变式2:当实数x的取值使=有意义时,函数y=4x+1中y的取值范围为()
≥-7 ≥9 >9 ≤9
【一次函数图象、性质】
1、【单调性研究】
【例3】已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4)求:
(1)为何值时,随的增大而减小;
(2)分别为何值时,函数的图象与轴的交点在轴的下方?
(3)分别为何值时,函数的图象经过原点?
(4)当m=-1,n=-2时,设此一次函数与轴交于A,与轴交于B,试求面积。
变式1:P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x图象上的两点,则下列判断正确的是()
>y2 <<x2时,y1><x2时,y1<y2
变式2:一次函数y=kx+b-1的图象如图2,则3b与2k的大小关系是,当b=时,y=kx+b-1是正比例函数.
变式3:已知,那么的图象一定不经过()
变式4:已知关于的一次函数在上的函数值总是正数,则的取值范围是()
变式5:一次函数,当时,函数图象有何特征?请通过不同的取值得出结?
2、【求解函数解析式-----待定系数法】
【例4】已知:一次函数的图象经过M(0,2),(1,3)两点.
(1)求k、b的值;
(2)若一次函数的图象与x轴的交点为A(a,0),求a的值.
变式1:一次函数y=kx+3的图象经过点(2,-1),则
(1)求这个函数解析式;(2)判断(-2,7)是否在此函数的图象上.
变式2:已知点A(2a-1,3a+1),直线l经过点A,则直线l的解析式是.
变式3:已知一个一次函数的自变量的取值范围是2≤x≤6,函数值的取值范围是5≤y≤9,求这个一次函数解析式.
3、【直线的位置关系】
【例5】已知:如图一次函数y=x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,过点C(4,0)作AB的垂线交AB于点E,交y轴于点D,求点D、E的坐标.
变式1:一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=.
变式2:如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,'(点P'不在y轴上),连结PP',P'A,P'=3时,
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点P'的坐标是(-1,m),求m的值;
变式3:若把一次函数y=2x-3,向上平移3个单位长度再右平移5个单位,得到图象解析式是()
=-=2x-=2x+=2x-5
4、【一次函数与不等式的关系】
【例6】如图,直线与轴交于点,关于的不等式的解集是(). D.
变式1:直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于的不等式的解集为()
><>-<-2
变式2:如图,直线经过点和点,直线过点A,则不等式的解集为()
A. B.
x
(-1,-1)
(2,2)
y
O
.
变式3:如图所示,函数和的图象相交于,(-1,1),(2,2),x的取值范围是()
<-1B.—1<x<>2 <-1或x>2
5、【一次函数与方程的关系】
【例7】若直线和直线的交点坐标为,.
变式1:已知直线与直线的交点在第三象限内,则的取值范围是.
变式2:A,B两城相距600km,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,(km)与行驶时间x(t)之间的函数图象.
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当它们行驶7了小时时,两车相遇,求乙车速度.
x/t
y/km
600
14
6
O
F
E
C
D
变式3:甲乙两人同时登西山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山的速度是每分钟米,乙在A地提速时距地面的高度b为米.
(2)若乙提速后,乙的速度是甲登山速度的3倍,请分别求出甲、乙二人登山全过程中,登山时距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式.
(3)登山多长时间时,乙追上了甲?此时乙距A地的高度为多少米?
6、【面积问题】
【例8】
直线经过(1,2)、(-3,4)两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。
如图,已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求△ABC的面积。
变式1:如图,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,D是x轴上一点,坐标为(x,0),△ABD的面积为S
(1)求点A和点B的坐标;
(2)当S=12时,求点D的坐标;
(3)求S与x的函数关系式
变式2:如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与y=−x+3分别交x轴于点B和点C,点D是直线y=−x+3与y轴的交点.
(1)求点B、C、D的坐标;
(2)设M(x,y)是直线y=x+1上一点,△BCM的面积为S,请写出S与x的函数关系式;来探究当点M运动到什么位置时,△BCM的面积为10,并说明理由.
(3)线段CD上是否存在点P,使△CBP为等腰三角形,如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由.
【拓展知识点】
=kx+b过点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,斜率k=
(x1,y1),B(x2,y2)两点的中点坐标: