极坐标与参数方程知识点总结.doc

该【极坐标与参数方程知识点总结 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【极坐标与参数方程知识点总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第一部分:坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

(1)极坐标系
如图(1)所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,,,不作特殊说明时,,当点M在极点时,它的极坐标为。和直角坐标不同,,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标
极坐标
互化公式
在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.

曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
圆心为,半径为的圆
过极点,倾斜角为的直线
(1)
(2)
过点,与极轴垂直的直线
过点,与极轴平行的直线
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,,,其中,只有的极坐标满足方程.
二、参数方程

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于
的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.
注:普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

如图所示,设圆的半径为,点M从初始位置出发,按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动,设M,则。这就是圆心在原点,半径为的圆的参数方程,其中的几何意义是转过的角度。圆心为,半径为的圆的普通方程是,
它的参数方程为:。

以坐标原点为中心,焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为,其中参数称为离心角;焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角,通常规定参数的范围为。
注:椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在0到的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等。但当时,相应地也有,在其他象限内类似。

以坐标原点为中心,焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为,其中。
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为,其中
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。

以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线的参数方程为

经过点,倾斜角为的直线的普通方程是而过,倾斜角为的直线的参数方程为。
注:直线参数方程中参数的几何意义:过定点,倾斜角为的直线的参数方程为,其中表示直线上以定点为起点,任一点为终点的有向线段的数量,当点在上方时,>0;当点在下方时,<0;当点与重合时,=0。我们也可以把参数理解为以为原点,直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标,其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【要点名师透析】
一、坐标系
(一)平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换
(1)求点经过变换所得的点的坐标;
(2)点B经过变换得到点,求点的坐标;
(3)求直线经过变换后所得到直线的方程;
(4)求双曲线经过变换后所得到曲线的焦点坐标。
(二)极坐标与直角坐标的互化
〖例2〗在极坐标系中,如果为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标。
(三)求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P,Q分别在∠AOB的两边OA,OB上,∠AOB=,⊿POQ的面积为8,求PQ中点M的极坐标方程。
(四)极坐标的应用
〖例〗如图,点A在直线x=4上移动,⊿OPA为等腰直角三角形,⊿OPA的顶角为∠OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状。
二、参数方程
(一)把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线C: (t为参数),C:(为参数)。
(1)化C,C的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为,Q为C上的动点,求中点到直线 (t为参数)距离的最小值。
(二)椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求的最大值
解答:
(三)直线参数方程的应用
〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,求的值及相应的的值。
解析:
(四)圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数),且曲线C与直线=0相交于两点A、B
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求弦AB的垂直平分线的方程(3)求弦AB的长
【感悟高考真题】
,点(2,)到圆的圆心的距离为()
(A)2(B)(C)(D)
,圆的圆心的极坐标是()
(A)(B)(C)(D)
,曲线的参数方程为,在极坐标系(与直角坐标系xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为的交点个数为______
,曲线的参数方程为在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为的交点个数为___
5.(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为=,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为.
6.(2011·陕西高考理科·T15C)直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:(为参数)和曲线:上,则的最小值为.
7.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A,B分别在曲线:(为参数)和曲线:上,则的最小值为.
8.().已知抛物线的参数方程为(为参数)若斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与圆相切,则=________.
9.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为和,它们的交点坐标为.
10.(2)在直角坐标系xOy中,直线的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为.(I)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l位置关系;
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线(为参数)平行的直线的普通方程。
12.(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为(为参数)M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求
.
13.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为
(为参数)M是C1上的动点,P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求.
14.(2011·辽宁高考理科·T23)(本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=a与C1,=0时,这两个交点间的距离为2,当a=时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a与b的值;
(II)设当=时,l与C1,C2的交点分别为A1,B1,当a=-时,l与C1,
C2的交点为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积.
(t为参数)所表示的图形分别是(D)
、、、、直线
(p-1)()=(p0)表示的图形是
(A)两个圆(B)两条直线(C)一个圆和一条射线(D)一条直线和一条射线
(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______.
:(为参数,)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧的长度均为。
(I)以O为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标;
(II)求直线AM的参数方程。
【考点模拟演练】
一、选择题
,则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )
A.,(1,)B.,(1,-)C.,(-1,)D.,(-1,-)
,点P的直角坐标为(1,-).若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以是( )
A. . D.
,已知点C(-3,-),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,则点C的极坐标(ρ,θ)(ρ>0,-π<θ<0)可写为________.
( )
=4 == =答案:C
(t是参数,t≠0),它的普通方程是( )
A.(x-1)2(y-1)=1 ==+1 =-1
=2关于直线θ=对称的直线方程为( )
=-2 ==-2 =2sinθ
(t为参数),则直线l的斜率为( )
.-.-
-4y-9=0与圆:,(θ为参数)的位置关系是( )

(2,0),且垂直于极轴,则它的极坐标方程为________.
,直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长为________.
二、填空题
,直线θ=截圆ρ=2cos(ρ∈R)所得的弦长是________.
+3y-1=0经过变换可以化为6x+6y-1=0,则坐标变换公式是________.
13.(皖南八校2011届高三第二次联考)已知平面直角坐标系xOy内,直线l的参数方程式为(t为参数),以Ox为极轴建立极坐标系(取相同的长度单位),圆C的极坐标方程为,则直线l的圆C的位置关系是。
,分别以t和为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为.
+3y2-6x=0(x,y∈R),则x2+y2的最大值为.
∶cos=4相交于点M,在OM上取一点P,使OM·OP=12,则点P的轨迹方程为.
三、解答题
,已知圆C的圆心C,半径r=3,
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上,且|OQ|∶|QP|=3∶2,求动点P的轨迹方程.
,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数),求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.