实数知识点总结.doc

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平方根的有关概念
夯实基础
算术平方根
名称
定义
表示方法
举例
算术平方根
一般地,如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根。规定0的算术平方根是0
非负数的算术平方根记作“”,读作“根号”,其中叫做被开方数
如,那么5叫做25的算术平方根(或者说25的算术平方根是5)
温馨提示
①一个正数的平方根有两个,分别为和,我们把正的平方根叫做的算术平方根。
②一个正数的算术平方根是一个正数;零的算术平方根仍为零;负数没算术平方根。
例1:写出下列各数的算术平方根。
(1);(2);(3)。
平方根
定义:如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根(或二次方根)。即如果,那么就叫做的平方根。如:,所以4的平方根是;,所以的平方根是;,所以0的平方根是0。
表示方法
一个数的正的平方根,用符号“”表示,叫做被开方数,2叫做根指数,的负平方根用“”表示,根指数是2时,通常省略不写。如记作,读作“根号”,记作,读作“正、负根号”。
温馨提示
①任何数的平方都不能为负数,所以负数没有平方根。
②“5是25的平方根”这种说法是正确的,反过来说“25的平方根是5”就错了,因为“正数有两个平方根”,所以必须说“25的平方根是±5”。
③求一个数的平方根就是把平方后等于这个数的所有数都求出来,而判断一个数是不是另一个数的平方根,只要把这个数平方,看其是否等于另一个数即可。
平方根的性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数,记作。
零的平方根是零。
负数没有平方根。
温馨提示
①时,表示的算术平方根,表示的平方根。
②因为负数没有平方根,所以被开方数。如中隐含着,即这一条件。
③,
例2:判断下列说法是否正确,并说明理由。
的平方根是36;(2)1的平方根是1;(3)-9的平方根是;(4);
是的算术平方根。
平方根与算术平方根的区别与联系
算术平方根
平方根
区别
概念
如果一个正数的平方等于,即,那么这个正数叫做的算术平方根
如果一个数的平方等于,即,那么这个数叫做的平方根或二次方根
表示方法
性质
正数只有一个算术平方根,且恒正;规定
正数有两个平方根,且互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根
;负数没有算术平方根
求法
开平方后取非负的平方根
开平方
联系
的取值范围相同,均为;
平方根中包含了算术平方根,即算术平方根是平方根中的一个,平方根中非负的
那一个即为算术平方根。
掌握方法
开平方的方法
求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
开平方运算与平方运算互为逆运算。
表示非负数的平方根,表示非负数的算术平方根,表示非负数的负的平方根。
例1:下列各式中正确的是()
.
.
平方根的性质的应用方法
要判断一个数有无平方根或平方根有几个,关键是确定这个数是正数、负数还是0。如果是正数的平方根,那么有或;但如果正数平方根是,那么只能有。
例2:如果一个数的平方根是与,那么这个数是多少?

一个正数有两个平方根,它们互为相反数,0只有一个平方根,负数没有平方根。在解方程时,利用平方根的定义进行开方,从而求出未知数的值。
例3:求下列各式中的的值。
;(2);
;(4)。
实数
立方根的有关概念
夯实基础
立方根
立方根
名称
定义
表示方法
举例
立方根
一般地,如果一个数的立方等于,即,那么叫做的立方根或三次方根
数的立方根记作“”,读作“三次根号”,其中叫做被开方数
如,那么叫做的立方根
温馨提示
①负数没有平方根,但有立方根。
②根据立方根的概念可知:“5是125的立方根”,反过来说“125的立方根是5”也正确。
③判断一个数是不是某数的立方根,就看是不是等于。
例1:求下列各数的立方根:
;(2);(3)。
立方根的性质
正数只有一个正的立方根;
负数只有一个负的立方根;
零的立方根为零。
温馨提示
①一个数的立方根是唯一的。
②正数的奇次方根时正数,负数的奇次方根是负数,零的任何正整数次方根均为0。
③、、,公式中的可取任意数。
④当两个数相等时,这两个数的立方根相等,反过来,当两个数的立方根相等时,这两个数也相等。即若,则;若,则。
例2:下列说法中错误的有()
①任何一个数都有立方根;
②14的立方根是;
③3是27的立方根;
④正数的平方根有两个,立方根也有两个。

开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方。
例如:8的立方根为。
温馨提示
①被开方数的数可以是正数、负数和0。
②开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系,负数(在实数范围内)不能开平方但可以进行开立方运算。
③求一个负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,然后取它的相反数,即
。
④求一个带分数的立方根时,必须把带分数化成假分数,再求它的立方根。
例3:求下列各式的值。
;(2);(3);(4)。
立方根与平方根的区别和联系
立方根与平方根的不同点:
定义不同:平方根的概念强调“平方”二字,立方根的概念强调“立方”二字,即平方根的逆运算是平方,立方根的逆运算是立方。
表示方法不同:平方根用“”表示,根指数2可以省略,写成“”;立方根用“”表示,根指数3不能省略,更不能写成“”。
性质不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数;而任何一个数的立方根却只有一个,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,零的立方根是零。
的取值范围不同:平方根中的取值范围必须是非负数,而立方根中的取值为任何数,即正数、负数、零均可。
立方根与平方根的相同点:
都是求根:平方根与立方根的定义都是建立在乘方概念的基础上。在指数式中,当时,求的值就是求的平方根;当时,求的值就是求的立方根。这就表明无论是求平方根还是求立方根,都是已知指数和幂,求底数。
都与乘方知识有关:不论是求平方根还是求立方根,都属于开方运算。开方是乘方的逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算。
零的平方根与立方根都是零。
都可以归结为非负数的非负方根来研究:平方根主要是通过算术平方根来研究;而负数的立方根也可以通过转化为整数的立方根来研究。
掌握方法
立方根性质的应用方法
正数、0、负数都有立方根,且只有一个立方根,一个数的立方根的符号与这个数的符号是一致的;
一个数的立方的立方根、一个数的立方根的立方都等于其本身;
互为相反数的立方根仍互为相反数,互为相反数的立方仍互为相反数。
例1:若,求的值。
利用立方根的概念解方程的方法
正数的立方根是一个正数;负数的立方根是一个负数;0的立方根是0。在解方程时,利用立方根的定义进行开立方,从而求出未知数的值,在求立方根时,常需转化为的形式,也常常将中的看作一个整体。
例2:求下列各式中的值:
;(2);
(3);(4)。

在开方运算中,被开方数的小数点移动时,其方根的小数点相应地移动是有规律的:(1)在开平方运算中,被开方数的小数点向左(右)移动两位时,其平方根的小数点向左(右)移动一位;(2)在开立方运算中,被开方数的小数点向左(右)移动三位时,其立方根的小数点向左(右)移动一位。
例3:填空:
已知,则=,=。
已知,则=,=。
实数
实数
夯实基础
无理数
无限不循环小数叫做无理数。
温馨提示
①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无理数是指无限不循环小数。
②常遇到的无理数有三类:开放开不尽的数的方根,如,等;特定结构的数,…;特定意义的数,如。
③许多带根号的数是无理数,如、等,但带根号并不是无理数的本质特征,因为像,,,等都是有理数。
④有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以都是有理数;而无限不循环小数不能化为分数,是无理数。
⑤无理数与有理数的和、差一定是无理数。
⑥无理数乘或除以一个不为0的有理数,结果一定是无理数。
实数及其分类
有理数和无理数统称为实数。
按定义分类
按性质分类
例1:把下列各数填入相应的集合内:
,,,,,,,,,
(每两个之间依次多个),,。
整数集合{…};
正无理数集合{…};
负分数集合{…};
负实数集合{…}。
实数的性质
实数的相反数
实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的。只有符号不同的两个数互为相反数,即实数的相反数是。实数与互为相反数,则,反之也成立。
实数的绝对值
实数的绝对值和有理数的绝对值的意义相同,一个正实数的绝对值等于它本身;一个负实数的绝对值等于它的相反数;0的绝对值是0。
一个实数的绝对值:
实数的倒数
实数的倒数和有理数的倒数一样,如果表示一个非零的实数,那么与互为倒数。实数与互为倒数,则,反之也成立。
实数与数轴上的点是一一对应的关系,数轴上每一个点都表示一个实数;反过来,每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。在数轴上,右边点对应的实数比左边点对应的实数大;正实数大于一切负实数,0大于一切负实数,正实数都大于0。任意两个实数间都有无数个有理数和无理数。
实数和有理数一样,可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算;有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用。
交换律:,;
结合律:,;
分配律:。
例2:求下列各数的相反数和绝对值。
;(2);(3);(4)。
掌握方法
无理数的识别方法
判断一个数是不是无理数,关键就看它能不能写成无限不循环小数的形式,而把无理数写成无限不循环小数的形式不但很麻烦,而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。初中常见的无理数有三种类型:(1)开方开不尽的数的方根,但切不可认为带根号的数都是无理数;(2)化简后含;(3)不循环的无限小数。掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。
例1:把下列各数分别填入相应的括号内。
,,,,,,。
无理数的估计方法
对于无理数的估算问题,要理解算术平方根、立方根的意义。求一个数的算术平方根与哪个整数最接近,就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间,与被开方数的差值较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数。求一个数的立方根与哪个整数最接近,方法和求一个数的算术平方根与哪个整数最接近相同,只要确定被开方数的值在哪两个相邻整数的立方之间,再确定和被开方数差值最小的那个整数的立方根即可。
例2:若,则的值所在范围是()
.
实数与数轴上点的对应关系的应用方法
每一个实数都可以用数轴上的一个点表示;数轴上每一个点都表示一个实数,即数轴上的点与实数是一一对应的关系。