统计概率知识点梳理总结.doc

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第一章随机事件与概率
一、教学要求
,了解随机试验、样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算.
,掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算.
,掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,并能运用这些公式进行概率计算.
,掌握运用事件独立性进行概率计算.
,能够将实际问题归结为贝努里概型,然后用二项概率计算有关事件的概率.
本章重点:随机事件的概率计算.
二、知识要点

具有下列三个特性的试验称为随机试验:
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;·
(2)每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有可能的结果;
(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间,用表示,其中的每一个结果用表示,称为样本空间中的样本点,记作.

在随机试验中,把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件).通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)
看作特殊的随机事件.
3.**事件的关系及运算
(1)包含:若事件发生,一定导致事件发生,那么,称事件包含事件,记作(或).
(2)相等:若两事件与相互包含,即且,那么,称事件与相等,记作.
(3)和事件:“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件,记作;“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和,记作(简记为).
(4)积事件:“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件,记作(简记为);“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件,记作(简记为或).
(5)互不相容:若事件A和B不能同时发生,即,那么称事件A与B互不相容(或互斥),若n个事件中任意两个事件不能同时发生,即(1≤i<j≤几),那么,称事件互不相容.
(6)对立事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生,即且,那么,(或逆事件)记作.
(7)差事件:若事件A发生且事件B不发生,那么,称这个事件为事件A与B的差事件,记作(或).
(8)交换律:对任意两个事件A和B有
,.
(9)结合律:对任意事件A,B,C有
,.
(10)分配律:对任意事件A,B,C有
,.
(11)德摩根(DeMorgan)法则:对任意事件A和B有
,.

(1)频率的定义
设随机事件A在n次重复试验中发生了次,则比值/n称为随机事件A发生的频率,记作,即.
(2)概率的统计定义
在进行大量重复试验中,随机事件A发生的频率具有稳定性,即当试验次数n很大时,频率在一个稳定的值(0<<1)附近摆动,规定事件A发生的频率的稳定值为概率,即.
(3)**古典概率的定义
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型:
(i)试验的样本空间是个有限集,不妨记作;
(ii)在每次试验中,每个样本点()出现的概率相同,即
.
在古典概型中,规定事件A的概率为
.
(4) 几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域),且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性,那么规定事件A的概率为
·
(5) 概率的公理化定义
设随机试验的样本空间为,随机事件A是的子集,是实值函数,若满足下列三条公理:
公理1(非负性)对于任一随机事件A,有≥0;
公理2(规范性)对于必然事件,有;
公理3(可列可加性)对于两两互不相容的事件,有
,
则称为随机事件A的概率.
5.**概率的性质
由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质
(1).
(2)(有限可加性)设n个事件两两互不相容,则有
.
(3)对于任意一个事件A:
.
(4)若事件A,B满足,则有
,
.
(5)对于任意一个事件A,有.
(6)(加法公式)对于任意两个事件A,B,有
.
对于任意n个事件,有
.
6.**条件概率与乘法公式
,,规定
.
在同一条件下,条件概率具有概率的一切性质.
乘法公式:对于任意两个事件A与B,当,时,有
.
7.*随机事件的相互独立性
如果事件A与B满足
,
那么,称事件A与B相互独立.
关于事件A,月的独立性有下列两条性质:
(1)如果,那么,事件A与B相互独立的充分必要条件是;如果,那么,事件A与B相互独立的充分必要条件是.
这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”.
(2)下列四个命题是等价的:
(i)事件A与B相互独立;
(ii)事件A与相互独立;
(iii)事件与B相互独立;
(iv)事件与相互独立.
对于任意n个事件相互独立性定义如下:对任意一个,任意的,若事件总满足
,
.
8.*贝努里概型与二项概率
设在每次试验中,随机事件A发生的概率,则在n次重复独立试验中.,事件A恰发生次的概率为
,
称这组概率为二项概率.
9.**全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式:如果事件两两互不相容,且,,,则
.
第二章离散型随机变量及其分布
一、教学要求
,掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用.
;会利用二维概率分布计算有关事件的概率.
,了解二维随机变量的条件分布.
.
.
本章重点:离散型随机变量的分布及其概率计算.
二、知识要点

若对于随机试验的样本空间中的每个试验结果,变量都有一个确定的实数值与相对应,即,则称是一个一维随机变量.
概率论主要研究随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布.
2.**离散型随机变量及其概率函数
如果随机变量仅可能取有限个或可列无限多个值,则称为离散型随机变量.
设离散型随机变量的可能取值为,
若,则称离散型随机变量的概率函数,概率函数也可用下列表格形式表示:
3.*概率函数的性质
(1) ,
(2) .
由已知的概率函数可以算得概率
,
其中,是实数轴上的一个集合.
4.*常用离散型随机变量的分布
(1) 0—1分布,它的概率函数为
,
其中,或1,.
(2) 二项分布,它的概率函数为
,
其中,,.
(4) 泊松分布,它的概率函数为
,
其中,,.
(5) 均匀分布,它的概率函数为
,
其中,.

若对于试验的样本空间中的每个试验结果,有序变量都有确定的一对实数值与e相对应,即,,则称为二维随机变量或二维随机向量.
6.*二维离散型随机变量及联合概率函数
如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值,那么,称为二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示:
其中,.

设为二维离散型随机变量,为其联合概率函数(),称概率为随机变量的边缘概率函数,记为并有
,
称概率为随机变量Y的边缘概率函数,记为,并有
=.
.
设为二维离散型随机变量,与相互独立的充分必要条件为
.

设是一个随机变量,是一个已知函数,是随机变量的函数,,下面来求这个新的随机变量的分布.
设离散型随机变量的概率函数为