百分数知识点整理和单位一巧用.doc

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笔者在几年小学毕业班数学教学实践中,深刻认识到:分数、百分数、工程问题,是小学生最难理解和难于掌握的内容,而这三种内容的应用题又是小学生更难的,而又必须掌握的知识之一。而单位“1”好比是解答这难题的一把金钥匙,利用得当可帮助学生理解题意、掌握解题思路、发展思维,提高学生解题能力和技巧,可起到事半功倍的作用。因此,教师在教学中引导学生掌握单位“1”的运用方法很有必要。
首先要让学生认清单位“1”,它不同于自然数中的“1”,它可表示数字“1”,更重要的是它在分数、百分数、比类,工程问题应用题中表示“一个单位、一个整体”,这在教学中就叫单位“1”或“整体1”。故单位“1”可表示“一个总量、一个部分、一项工程的总量、一批物件”等。所有单位“1”的量叫标准量,与它相比的叫比较量,在解答应用题时,如单位“1”的量已知,就用单位“1”的量乘以所求量对应的分率;如求单位“1”的量,就用已知量除以已知量的对应分率。由于用单位“1”计算方法固定,故只要选好单位“1”,就可知计算方法,这就解决了学生不知用什么方法计算这一难题。而选择单位“1”一般以“总量、不变量、两者相比的后项、几分之几的对象”为单位“1”。下面谈谈单位“1”的运用。
一、单位“1”在分数应用题中的运用
这类应用题一般把总量看作单位“1”。
例(1):一堆煤有50吨,用去3/5后,还剩多少吨?
分析:本题应把总量一堆煤看作单位“1”,用去的单位“1”的3/5,剩下的占单位“1”的(1-3/5)(剩下量对应分率),由于单位“1”量已知而用乘法,求剩下量列式为:50×(1-3/5)。
例(2):一堆煤,第一次运走总吨数的1/3,第二次运走总吨数的1/4,还剩65吨没运,求这堆煤有多少吨?
分析:本题与例(1)一样把总量看作单位“1”,剩下的占单位“1”的(1-1/3-1/4),但这题求单位“1”的量而用除法,列式为:65÷(1-1/3-1/4)=156吨。
由上两例可知:当总量变化时,单位“1”在解题过程中起了关键作用。但当总量不变,总量里的几种部分量都变化时又怎样解呢? 例(3):甲乙两粮仓,甲仓存量吨数是乙仓的5倍,如从甲仓运出628吨粮存入乙仓,则乙仓存粮是甲的5倍,甲仓原有存粮多少吨? 分析:这题应把两仓总存粮数看作单位“1”,由于甲乙两仓存粮数前后发生变化,原来甲占两仓总量的5/(15),后来甲占两仓总量的1/(15),则原甲比后甲多的628吨的对应分率是(5/6-1/6)。故总量是628÷(5/6-1/6),而原甲仓存粮为628÷(5/6-1/6)×5/6。因此,当总量不变,而分量都变化,还是用单位“1”,解题可起简便思路的作用。
如总量变,分量里有种变、有种不变的题呢?同样可用单位“1”法求解。
例(4):甲乙两人共储蓄人民币315元,甲储蓄的钱数占两人总数的7/8,甲取出一部分存款支援“希望工程”后,这时甲占两人总储量的5/11,这时甲乙两人储蓄总量是多少元? 分析:本题与上题比,仍把总量看作单位“1”,但原来和现在“1”表示的量是不同的,而乙在总量变化时自身不变,故应以乙占前后单位“1”的差,求出后来两人总量。原来甲占7/8,乙占(1-7/8),乙有钱315×(1-7/8);后来甲占5/11,乙占(1-5/11),即后来两人储蓄总量的(1-5/11),是315×(1-7/8)÷(1-5/11)。于是可见,总量变化,同样可用单位“1”来求解,同样单位“1”起了解题中的桥梁作用。
二、单位“1”在“比类”应用题中的运用
这类应用题,一般先弄清是“谁比谁”,把“后者”看作单位“1”的量。
1、“份数比”类应用题 例(1):某工厂四月份烧煤120吨,比原计划节约了1/9,四月份原计划烧煤多少吨?
分析:本题是实际烧煤量与计划量相比,故应把计划烧煤量看作单位“1”,则实际烧煤量相当于计划量的(1-1/9),求计划量可列式为120÷(1-1/9)=135(吨),因此,单位“1”在份数比类应用题中起关键作用。
2、“差比”类应用题也可用单位“1”求解
例(1):甲数是40,乙数是80。①求甲比乙多几分之几?②求乙比甲比少几分之几? 这类应用题可用公式“相差量÷标准量”,但上题①、②问的标准量发生变化,而计算结果不同。①(80-40)÷80
=1/2;②(80-40)÷40=1。由上可知,单位“1”在“差比”类分数应用题解答中起了关键性的作用。
3、“倍比”类分数应用题同样可用单位“1”求解
例(1):某校54人参加奥林匹克学校数学班学习,非录取学生人数比录取学生数的5/2倍还多12人,问这所学校有几个被录取? 分析:本题应把被录取人数看作单位“1”,如非录取学生人数减少12人,则非录取人数刚好是录取人数的5/2倍,则总人数少12人后的人数对应的分率是15/2,求录取学生人数列式为:(54-12)÷(15/2)。这类应用题关键是把“比类”转换成“一量是另一量的倍数”,再利用单位“1”求解。因此,单位“1”在“倍比”类应用题解答中起了简便思路和计算过程的关键作用。
三、单位“1”在百分数应用题中的运用
单位“1”在百分数就用题与分数应用题中方法一样。因为把百分数转换成分数,就成了分数应用题。
四、单位“1”在“工程问题”中的运用
分数工程应用题同整数工程问题一样,都可以工作总量作单位“1”。工作总量可以是“一段路,一件工程,一块地,一批物件”等。 例(1):一段公路,甲队单独修要12天,乙队单独修要15天。甲队先单独修3天后,再两队合修要几天? 分析:本题应把这段路工作总看作单位“1”,甲队每天完成单位“1”的1/12,乙每天完成单位“1”的1/15。甲先修3天,则已修1/12×3,这时剩下这段路的1-1/12×3。两队合修一天可完成这段路的(1/121/15),合修天数为:(1-1/12×3)
÷(1/121/15)=5(天),解这题时,把这段路看作单位“1”起了关键作用。如用整数工程问题求解,由于不知工作总量而不能求解。
例(2):有大小两只木船,,小船的载重量是大船的2/7,大船8次运完的货物,小船几次才能运完?
本题用整数、小数应用题方法解可列式为:×8÷(×2/7)=28(次)。如用单位“1”法求解,则把大船8次运的货物看作单位“1”,大船每次运单位“1”的1/8,小船每次运单位“1”的1/8×2/7,故小船运完这批货的次数为:1÷(1/8×2/7)=28(次)。当以大船每次载重量看作单位“1”时,则这批货物总量有8个单位“1”。小船每次载重量是单位“1”的2/7,求小船运的次数就是8里面有多少个2/7,列式为:8÷2/7=28(次)。由上可知,用单位“1”的方法求解比整数、小数法简便些。 由上面的论证可知,单位“1”在小学分数、百分数、工程问题的应用题解答过程中,起了既简便运算方法、过程,又便于学生掌握解题思路的关键作用。因此,教学时,教会学生熟练利用单位“1”,对加强学生解题能力和技巧,提高教学质量,可起事半功倍的作用。
分数、百分数应用题解题公式
分数(百分数)应用题是小学数学应用题的主要内容之一,它是整、小数倍数关系应用题的继续和深化,是研究数量之间份数关系的典型应用题。分数应用题涉及的知识面广,题目变化的形式多,解题的思路宽,既有独特的思维模式,又有基本的解题思路。小学即将毕业阶段,如何通过分数(百分数)应用题方法的复习,让孩子们掌握一些基本解题方法,感悟数学的基本思想,从而达到培养初步的逻辑思维能力和运用所学知识解决实际问题能力之目的,笔者根据长期的教学实践和体会,总结出以下一些典型方法,以飨读者。
一、数形结合思想
数形结合是研究数学问题的重要思想,画线段图能将题目中抽象的数量关系,直观形象地表示出来,进行分析、推理和计算,从而降低解题难度。画线段图常常与其它解题方法结合使用,可以说,它是学生弄清分数(百分数)应用题题意、分析其数量关系的基本方法。
【例1】一桶油第一次用去,第二次比第一次多用去20千克,还剩下22千克。原来这桶油有多少千克?
[分析与解]
从图中可以清楚地看出:这桶油的千克数×(1--)=20+22
则这桶油的千克数为:(20+22)÷(1--)=70(千克)
【例2】一堆煤,第一次用去这堆煤的20%,第二次用去290千克,这时剩下的煤比原来这堆煤的一半还多10千克,求原来这堆煤共有多少千克?
[分析与解]
显然,这堆煤的千克数×(1-20%-50%)=290+10
则这堆煤的千克数为:(290+10)÷(1-20%-50%)=1000(千克)
二、对应思想
量率对应是解答分数应用题的根本思想,量率对应是通过题中具体数量与抽象分率之间的对应关系来分析问题和解决问题的思想。(量率对应常常和画线段图结合使用,效果极佳。)
【例3】缝纫机厂女职工占全厂职工人数的,比男职工少144人,缝纫机厂共有职工多少人?
[分析与解]
解题的关键是找到与具体数量144人的相对应的分率。
从线段图上可以清楚地看出女职工占,男职工占1-=,女职工比男职工少占全厂职工人数的-=,也就是144人与全厂人数的相对应。全厂的人数为:
144÷(1--)=480(人)
【例4】菜农张大伯卖一批大白菜,第一天卖出这批大白菜的,第二天卖出余下的,这时还剩下240千克大白菜未卖,这批大白菜共有多少千克?
[分析与解]
从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出后余下的(1-)。则第一天卖出后余下的大白菜千克数为:
240÷(1-)=400(千克)
同理400千克的对应分率为这批大白菜的(1-),则这批大白菜的千克数为:
400÷(1-)=600(千克)
三、转化思想
转化是解决数学问题的重要手段,可以这样说,任何一个解题过程都离不开转化。它是把某一个数学问题,通过适当的变化转化成另一个数学问题来进行思考、求解,从而实现从繁到简、由难到易的转化。复杂的分数应用题,常常含有几个不同的单位“1”,根据题目的具体情况,将不同的单位“1”转化成统一的单位“1”,使隐蔽的数量关系明朗化。
1、从分数的意义出发,把分数变成份数进行“率”的转化
【例5】男生人数是女生人数的,男生人数是学生总人数的几分之几?
[分析与解]
男生人数是女生的,是将女生人数看作单位“1”,平均分成5份,男生是这样的4份,学生总人数为这样的(4+5)份,求男生人数是学生总人数的几分之几?就是求4份是(4+5)份的几分之几?
4÷(4+5)=
【例6】兄弟两人各有人民币若干元,其中弟的钱数是兄的,若弟给兄4元,则弟的钱数是兄的,求兄弟两人原来各有多少元?
[分析与解]
兄弟两人的总钱数是不变量,把它看作单位“1”,原来弟的钱数占两人总钱数的,后来弟的钱数占两人总钱数的,则两人的总钱数为:
4÷(-)=90(元)
弟原来的钱数为:90×=40(元)
兄原来的钱数为:90-40=50(元)
2、直接运用分率计算进行“率”的转化
【例7】甲是乙的,乙是丙的,甲是丙的的几分之几?
[分析与解]
甲是乙的,乙是丙的,求甲是丙的的几分之几?就是求的是多少?
×=
【例8】某工厂计划一月份生产一批零件,由于改进生产工艺,结果上半月生产了计划的,下半月比上半月多生产了,这样全月实际生产了1980个零件,一月份计划生产多少个?
[分析与解]
是以上半月的产量为“1”,下半月比上半月多生产,即下半月生产了计划的×(1+)=。则计划的(+)为1980个,计划生产个数为:
1980÷[+×(1+)]=1500(个)
3、通过恒等变形,进行“率”的转化
【例9】甲的等于乙的,甲是乙的几分之几?
[分析与解]
由条件可得等式:甲×=乙×
方法1:等式两边同除以得:甲×=乙×÷
甲=乙×
方法2:根据比例的基本性质得:甲∶乙=∶
化简得:甲∶乙=15:28
即甲是乙的。
【例10】五(2)班有学生54人,男生人数的75%和女生人数的80%都参加了课外兴趣小组,而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等,这个班男、女生各有多少人?
[分析与解]
由条件可得等式:
男生人数×(1-75%)=女生人数×(1-80%)
男生人数∶女生人数=4:5
就是男生人数是女生人数的。
女生人数:54÷(1+)=30(人)
男生人数:54-30=24(人)
四、变中求定的解题思想
分数(百分数)应用题中有许多数量前后发生变化的题型,一个数量的变化,往往引起另一个数量的变化,但总存在着不变量。解题时要善于抓住不变量为单位“1”,问题就会迎刃而解。
1、部分量不变
【例11】有两种糖放在一起,其中软糖占,再放入16块硬糖以后,软糖占两种糖总数的,求软糖有多少块?
[分析与解]
根据题意,硬糖块数、两种糖的总块数都发生变化,但软糖块数不变,可以确定软糖块数为单位“1”,则原来硬糖块数是软糖块数的(1-)÷=倍。加入16块硬糖以后,后来硬糖块数是软糖块数的(1-)÷=3倍,这样16块硬糖相当于软糖的3-=倍,从而求出软糖的块数。
16÷[(1-)÷-(1-)÷]=9(块)
2、和不变
【例12】小明看一本课外读物,读了几天后,已读的页数是剩下页数的,后来他又读了20页,这时已读的页数是剩下页数的,这本课外读物共有多少页?
[分析与解]
根据题意,已读页数和未读页数都发生了变化,但这本书的总页数不变,可把总页数看作单位“1”,原来已读页数占总页数的,又读了20页后,这时已读页数占总页数的,这20页占这本书总页数的(-),则这本课外读物的页数为:
20÷(-)=630(页)
【例13】兄弟三人合买一台彩电,老大出的钱是其他两人出钱总数的,老二出的钱是其他两人出钱总数的