高中数列知识点总结及练习题附答案.doc

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①;②.
等差数列

如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列叫做等差数列,常数称为等差数列的公差.

⑴通项公式,为首项,为公差.
⑵前项和公式或.

如果成等差数列,那么叫做与的等差中项.
即:是与的等差中项,,成等差数列.

⑴定义法:(,是常数)是等差数列;
⑵中项法:()是等差数列.

⑴数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;
⑵在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.
⑶;(,是常数);(,是常数,)
⑷若,则;
⑸若等差数列的前项和,则是等差数列;
⑹当项数为,则;
当项数为,则.
等比数列

如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,这个数列叫做等比数
列,常数称为等比数列的公比.

⑴通项公式:,为首项,为公比.
⑵前项和公式:①当时,
②当时,.

如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.
即:是与的等差中项,,成等差数列.

⑴定义法:(,是常数)是等比数列;
⑵中项法:()且是等比数列.

⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.
⑶
⑷若,则;
⑸若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.
求前n项和
一裂项相消法:二、分组求和
、
三错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法,
求:
①
②
①减②得:
从而求出。
错位相减法的步骤:
(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式
(2)将①式左右两边都乘以公比q,得到②式
(3)用①②,错位相减
数列
1.{an}是首项a1=1,公差为d=3的等差数列,如果an=2005,则序号n等于().

{an}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=().

,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则().
>a4a5 <+a8<a4+=a4a5
(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则
|m-n|等于().
.
{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为().

{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是().

{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=().
A.-4B.-6C.-8D.-10
{an}的前n项和,若=,则=().
B.- D.
-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则的值是().
.-C.-或D.
{an}中,an≠0,an-1-+an+1=0(n≥2),若S2n-1=38,则n=().

(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为.
{an}中,(1)若a3·a4·a5=8,则a2·a3·a4·a5·a6=.
(2)若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=.
(3)若S4=2,S8=6,则a17+a18+a19+a20=.
,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为.
{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前13项之和为.
{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10=.
(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=.
{an}的前n项和Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列.
{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.
(1)求q的值;(2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.
{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3…).
求证:数列{}是等比数列.
{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列,Sn为其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列,求证:12S3,S6,S12-S6成等比数列.
:由题设,代入通项公式an=a1+(n-1)d,即2005=1+3(n-1),∴n=699.
:设等比数列{an}的公比为q(q>0),由题意得a1+a2+a3=21,
即a1(1+q+q2)=21,又a1=3,∴1+q+q2=7.
解得q=2或q=-3(不合题意,舍去),∴a3+a4+a5=a1q2(1+q+q2)=3×22×7=84.
:由a1+a8=a4+a5,∴·a8=a1(a1+7d)=a12+7a1d,
∴a4·a5=(a1+3d)(a1+4d)=a12+7a1d+12d2>a1·a8.
:设a1=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x2-2x+m=0中两根之和为2,x2-2x+n=0中两根之和也为2,∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4,
∴d=,a1=,a4=是一个方程的两个根,a1=,a3=是另一个方程的两个根.
∴,分别为m或n,∴|m-n|=,故选C.
解法2:设方程的四个根为x1,x2,x3,x4,且x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n.
由等差数列的性质:若g+s=p+q,则ag+as=ap+aq,若设x1为第一项,x2必为第四项,则x2=,于是可得等差数列为,,,,
∴m=,n=,∴|m-n|=.
:∵a2=9,a5=243,=q3==27,
∴q=3,a1q=9,a1=3,∴S4===120.
:由a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,知a2003和a2004两项中有一正数一负数,又a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a2003>a2004,即a2003>0,a2004<0.
∴S4006==>0,
∴S4007=·(a1+a4007)=·2a2004<0,故4006为Sn>.
(第6题)
解法2:由a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,同解法1的分析得a2003>0,a2004<0,∴S2003为Sn中的最大值.
∵Sn是关于n的二次函数,如草图所示,
∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小,
∴,4007,4008都在其右侧,Sn>0的最大自然数是4006.
:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6,
又由a1,a3,a4成等比数列,∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,∴a2=-8+2=-6.
:∵===·=1,∴选A.
:设d和q分别为公差和公比,则-4=-1+3d且-4=(-1)q4,
∴d=-1,q2=2,∴==.
:∵{an}为等差数列,∴=an-1+an+1,∴=2an,
又an≠0,∴an=2,{an}为常数数列,而an=,即2n-1==19,∴n=10.
11..解析:∵f(x)=,
∴f(1-x)===,
∴f(x)+f(1-x)=+===.
设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),
则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),
∴2S=[f(6)+f(-5)]+[f(5)+f(-4)]+…+[f(-5)+f(6)]=6,
∴S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3.
12.(1)32;(2)4;(3):(1)由a3·a5=,得a4=2,
∴a2·a3·a4·a5·a6==32.(2),
∴a5+a6=(a1+a2)q4=4.
(3),∴a17+a18+a19+a20=S4q16=32.
:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与,同号,由等比中项的中间数为=6,插入的三个数之积为××6=216.
:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4,∴S13====26.
15.-:∵d=a6-a5=-5,∴a4+a5+…+a10==
=7(a5+2d)=-49.
,(n+1)(n-2).解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,∴f(k)=f(k-1)+(k-1).由f(3)=2,
f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(5)=f(4)+4=2+3+4=9,
……
f(n)=f(n-1)+(n-1),相加得f(n)=2+3+4+…+(n-1)=(n+1)(n-2).
三、解答题
:(1)n=1时,a1=S1=3-2=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5,
n=1时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*).
首项a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*),
∴数列{an}成等差数列且a1=1,公差为6.
:(1)由题设2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或-.
(2)若q=1,则Sn=2n+=.
当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=>0,故Sn>bn.
若q=-,则Sn=2n+(-)=.当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=,
故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn;当n=10时,Sn=bn;当n≥11时,Sn<bn.
19.:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)Sn,
所以=.故{}是以2为公比的等比数列.
:由a1,2a7,3a4成等差数列,得4a7=a1+3a4,即4a1q6=a1+3a1q3,
变形得(4q3+1)(q3-1)=0,∴q3=-或q3=1(舍).
由===; =-1=-1=1+q6-1=;得=.∴12S3,S6,S12-S6成等比数列.