高中数学平面向量知识点与典型例题总结(师).doc

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【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】
:既有大小又有方向的量。记作:或。
:向量的大小(或长度),记作:或。
:长度为1的向量。若是单位向量,则。
:长度为0的向量。记作:。【方向是任意的,且与任意向量平行】
(共线向量):方向相同或相反的向量。
:长度和方向都相同的向量。
:长度相等,方向相反的向量。。
:
;;(指向被减数)
:
以为临边的平行四边形的两条对角线分别为,。
:。当时,同向;当时,反向。
:任意不共线的两个向量称为一组基底。
:若,则,,
:;
:;
:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是。
(5)若,则A、B、C、D四点构成平行四边形。
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。
(7)若与共线,与共线,则与共线。
(8)若,则。
(9)若,则。
(10)若与不共线,则与都不是零向量。
(11)若,则。
(12)若,则。

“向东走8km”,表示“向北走6km”,则。
。
,,则的最大值和最小值分别为、。
,且,则,。
,且,则,。

:(1)(2)
,则。

已知向量,如下图,请做出向量和。

,是的中点,请用向量表示。
,已知,求。

,,则点的坐标是。
,,则点的坐标是。
,,,则合力的坐标为。
,,求,,。
,向量与相等,求的值。
,,,则。
,,且,求的坐标。

,判断下列每组向量是否能构成一组基底:
.
,能与构成基底的是()
.

,点在第二象限,,,求的坐标。
,点在第一象限,,,求的坐标。

,且与的夹角为,求(1),(2),
(3),(4)。
,求(1),(2),(3),
(4)。

,,求与的夹角。
,求与的夹角。
,,,求。

,且与的夹角为,求(1),(2)。
,求(1),(5),(6)。
,,求。
【与平行的单位向量:】
。
。

,,当为何值时,(1)?(2)?
,,(1)为何值时,向量与垂直?
(2)为何值时,向量与平行?
,,且,求证:。

,,,求证:三点共线。
,求证:三点共线。
,则一定共线的三点是。
,,若点在直线上,求的值。
,,,,是否存在常数,使成立?

,,且,则四边形的形状是。
,,,,证明四边形是梯形。
,,,求证:是直角三角形。
,,求证:是等腰直角三角形。

,,当为何值时,向量与平行?
,且,,求的坐标。
,,则,求的坐标。
,,,则。
,,,请将用向量表示向量。
,,(1)若与的夹角为钝角,求的范围;
(2)若与的夹角为锐角,求的范围。
,,当为何值时,(1)与的夹角为钝角?(2)与的夹角为锐角?
,,,且,,求点的坐标。
,,,求第四个顶点的坐标。
,航船实际航行方向与水流方向成角,求水流速度与船的实际速度。
,,,
(1)若,求的值;(2)若,求的值。
【备用】
,求和向量的夹角。
,,且,,求的夹角的余弦。
,则65。
,求当垂直时的x的值。
,的夹角为锐角,求的范围。
变式:若,的夹角为钝角,求的取值范围。
选择、填空题的特殊方法:

例:《全品》P27:4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立,所以取特殊情况,即M,N与B,C重合时,可以得到,。

例:已知向量,则(D)
.
变式:已知,请用表示。
解:设,则
即:
,即:
解得:,

例:已知M是的重心,则下列向量与共线的是(D)
.
解:观察前三个选项都不与共线,所以选D。