数学必修五数列知识点解题技巧.doc

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一数列的概念
1)数列的前项和与通项的公式①;
2)数列的分类:①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如:④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
等差数列
通项公式,为首项,为公差。前项和公式或.
等差中项:。
等差数列的判定方法:⑴定义法:(,是常数)是等差数列;⑵中项法:()是等差数列.
等差数列的性质:
⑴数列是等差数列,则数列、(是常数)都是等差数列;
⑵在等差数列中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即为等差数列,公差为.
⑶;(,是常数);(,是常数,)
⑷若,则;
⑸若等差数列的前项和,则是等差数列;
⑹当项数为,则;
当项数为,则.
(7)设是等差数列,则(是常数)是公差为的等差数列;
(8)设,,,则有;
(9)是等差数列的前项和,则;
(10)其他衍生等差数列:若已知等差数列,公差为,前项和为,则
   ①.为等差数列,公差为;
②.(即)为等差数列,公差; 
③.(即)为等差数列,公差为.
等比数列
通项公式:,为首项,为公比。前项和公式:①当时,②当时,.
等比中项:。;
等比数列的判定方法:⑴定义法:(,是常数)是等比数列;⑵中项法:()且是等比数列.
等比数列的性质:
⑴数列是等比数列,则数列、(是常数)都是等比数列;
(2)
(3)若,则;
(4)若等比数列的前项和,则、、、是等比数列.
(5)设,是等比数列,则也是等比数列。
(6)设是等比数列,是等差数列,且则也是等比数列(即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列);
(7)设是正项等比数列,则是等差数列;
(8)设,,,则有;
(9)其他衍生等比数列:若已知等比数列,公比为,前项和为,则
①.为等比数列,公比为;
②.(即)为等比数列,公比为;
解题技巧:
A、数列求和的常用方法:
1、拆项分组法:即把每一项拆成几项,重新组合分成几组,转化为特殊数列求和。
2、错项相减法:适用于差比数列(如果等差,等比,那么叫做差比数列)
即把每一项都乘以的公比,向后错一项,再对应同次项相减,转化为等比数列求和。
3、裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项,使其正负抵消,只余有限几项,可求和。适用于数列和(其中等差)。可裂项为:,
B、等差数列前项和的最值问题:
1、若等差数列的首项,公差,则前项和有最大值。
(ⅰ)若已知通项,则最大;
(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最大;
2、若等差数列的首项,公差,则前项和有最小值
(ⅰ)若已知通项,则最小;
(ⅱ)若已知,则当取最靠近的非零自然数时最小;
C、根据递推公式求通项:
1、构造法:
1°递推关系形如“”,利用待定系数法求解
【例题】已知数列中,,求数列的通项公式.
2°递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解
【例题】,求数列的通项公式.
3°递推已知数列中,关系形如“”,利用待定系数法求解
【例题】已知数列中,,求数列的通项公式.
4°递推关系形如",两边同除以
【例题】已知数列中,,求数列的通项公式.
【例题】数列中,,求数列的通项公式.
迭代法:
a、⑴已知关系式,可利用迭加法或迭代法;
【例题】已知数列中,,求数列的通项公式
b、已知关系式,可利用迭乘法.
【例题】已知数列满足:,求求数列的通项公式;
3、给出关于和的关系
【例题】设数列的前项和为,已知,设,
求数列的通项公式.
五、典型例题:
A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1)根据基本量求解(方程的思想)
【例题】已知为等差数列的前项和,,求;
2)根据数列的性质求解(整体思想)
【例题】已知为等比数列前项和,,,则.
B、求数列通项公式(参考前面根据递推公式求通项部分)
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
【例题】已知为等差数列的前项和,.求证:数列是等差数列.
2)证明数列等比
【例题】数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,若an+Sn==an-1,求证:数列{cn}是等比数列;
D、求数列的前n项和
【例题1】求数列的前项和.(拆项求和法)
【例题2】求和:S=1+(裂项相消法)
【例题3】设,求:⑴;
⑵(倒序相加法)
【例题4】若数列的通项,求此数列的前项和.(错位相减法)
【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
【例题】数列中,,当数列的前项和取得最小值时,