近世代数主要知识点.pptx

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补考复习练习
王尚文
近世代数基础
基本概念群论环和域
第一章基本概念
集合
映射
代数运算
结合律
交换律
分配律
一一映射
同态
同构、自同构
等价关系与集合分类
第二章群论
群的定义
单位元、逆元、消去律
有限群的另一定义
群的同态
变换群
置换群
循环群
子群
子群的陪集
不变子群、商群
同态与不变子群
第三章环和域
加群、环的定义
交换律、单位元、零因子、整环
除环、域
无零因子环的特征
子环、环的同态
多项式环
理想
剩余类环、同态与理想
最大理想
集合的定义
若干个固定事物的全体叫做一个集合简称集
元组成一个集合的事物叫做这个集合的元素有时简称元
一个没有元素的集合叫做空集合
集合的积令A1A2·········,An是n个集合,有一切从A1A2·········,An里顺序取出的元素组(a1,a2,a3············,an)(ai∈Ai)所做成的集合叫做集合的积
子集若集合b的每一个元素都属于集合a,我们说,b是a的子集
交集集合a和集合b的所有共同元所组成的集合就叫做a和b的交集
并集由至少属于集合a和b之一的一切元素组成的集合就叫做a和b的并集
映射
映射的定义假如通过一个法则Ф,对于任何一个A1×A2×······×An的元都能得到一个唯一的D的元d,那么这个法则叫做集合A1×A2×······×An到集合D的一个映射像逆象,
映射的相同效果相同就行
代数运算
定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算
代数运算是一种特殊的映射描写它的符号,也可以特殊一点,一个代数运算我们用。来表示
二元运算假如。是一个A×A到A的代数运算,我们说集合A是闭的二元运算
分配律
第一分配律b⊙(a+b)=(b⊙a)+(b
⊙a)
第二分配律(a1+a2)b=(a1⊙b)+(a2⊙b)
同态
同态映射一个A到Ǎ的映射l,叫做一个代数运算∮和∮‘来说,A到Ǎ的同态映射,假如,在∮之下不管a和b是A的哪两个元,只要a→a´,b→b`就有a∮b→a´∮‘b`
假如运算1和1‘来说,有一个A到A’的满射的同态映射存在,同态满射
同构映射一一映射的同态映射就是一个同构映射
自同构
等价关系与等价类
集合的等价关系假如~满足以下规律Ⅰ反射律;a~a,不管a是A的哪个元。Ⅱ,
对称律:a~b=>b~aⅢ,推移律:a~b,b~c=>a~c
同余关系