高数知识点总结 (3).doc

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基本初等函数:反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数(),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)
分段函数不是初等函数。
无穷小:高阶+低阶=低阶例如:
两个重要极限:
经验公式:当,
例如:
可导必定连续,连续未必可导。例如:连续但不可导。
导数的定义:
复合函数求导:
例如:
隐函数求导:(1)直接求导法;(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx
例如:
由参数方程所确定的函数求导:若,则,其二阶导数:
微分的近似计算:例如:计算
函数间断点的类型:(1)第一类:可去间断点和跳跃间断点;例如:(x=0是函数可去间断点),(x=0是函数的跳跃间断点)(2)第二类:振荡间断点和无穷间断点;例如:(x=0是函数的振荡间断点),(x=0是函数的无穷间断点)
渐近线:
水平渐近线:
铅直渐近线:
斜渐近线:
例如:求函数的渐近线
驻点:令函数y=f(x),若f'(x0)=0,称x0是驻点。
极值点:令函数y=f(x),给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ),都有f(x)≥f(x0),称x0是f(x)的极小值点;否则,称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。
拐点:连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点,称为曲线弧的拐点。
拐点的判定定理:令函数y=f(x),若f"(x0)=0,且x<x0,f"(x)>0;x>x0时,f"(x)<0或x<x0,f"(x)<0;x>x0时,f"(x)>0,称点(x0,f(x0))为f(x)的拐点。
极值点的必要条件:令函数y=f(x),在点x0处可导,且x0是极值点,则f'(x0)=0。
改变单调性的点:,不存在,间断点(换句话说,极值点可能是驻点,也可能是不可导点)
改变凹凸性的点:,不存在(换句话说,拐点可能是二阶导数等于零的点,也可能是二阶导数不存在的点)
可导函数f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。
中值定理:
(1)罗尔定理:在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点,使得
(2)拉格朗日中值定理:在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点,使得
(3)积分中值定理:在区间[a,b]上可积,至少存在一点,使得
常用的等价无穷小代换:
对数求导法:例如,,
洛必达法则:适用于“”型,“”型,“”型等。当,皆存在,且,则例如,
无穷大:高阶+低阶=高阶例如,
不定积分的求法
公式法
第一类换元法(凑微分法)
第二类换元法:哪里复杂换哪里,常用的换元:1)三角换元:,可令;,可令;,可令2)当有理分式函数中分母的阶较高时,常采用倒代换
分部积分法:,选取u的规则“反对幂指三”,剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况,例如: