余弦定理教学教案（五篇范文）.docx

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●教学目标
学问与技能:把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。
过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算把握运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题●教学重点
余弦定理的发觉和证明过程及其根本应用;●教学难点
勾股定理在余弦定理的发觉和证明过程中的作用。●教学过程
1、复习:已知A=300,C=450,b=16解三角形。(可以让学生板练)
2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形?
师生活动:用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”:已知△ABC,BC=a,AC=b,和角C,求解c,B,A
引出课题:余弦定理
Ⅱ.讲授新课[探究讨论]
从而c2=a2+b2-2abcosC(-5)同理可证a2=b2+c2-2bccosA
2b=a+c-2accosB
于是得到以下定理
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2=b2+c2-2bccosA
222
b=a+c-2accosB222
c=a+b-2abcosC
思索:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?
(由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:
b+c-a
cosA=
2bca+c-b
cosB=
2acb+a-c
cosC=
2ba
[理解定理]联系已经学过的学问和方法,可用什么途径来解决这个问题?
从而知余弦定理及其推论的根本作用为:用正弦定理试求,发觉因A、B均未知,所以较难求边c。
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来讨论这个问题。
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。rrrrrruurruuuurr
-5,设CB=a,CA=b,AB=c,那么c=a-b,则b
思索:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?r
c(由学生总结)若DABC中,C=900,则cosC=0,这时c2=a2+b
2r2rrrrrr由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。=c×c=(a-b)(a-b)rrrrrr[例题分析]=a×a+b×b-2a×bCaBr2r2rr
=a
+-2a×b
例
1、在DABC中,已知a=23,b=3,C=30o,解此三角形。
32法一:由正弦定理
=3
bsinB
=
csinC,即
312
=
33sinC,解得sinC=
32,解:由余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC=12+9-2´23´3´
由于c>b,所以C=60o或120o,\c=
\cosA=
b+c-a
2bc
o
o
222
当C=60o时,A=90o,DABC为直角三角形,此时a=
=
9+3-1263
o
b+c
=6;
=0,\A=90;
o
当C=120o时,A=30o,A=B,所以a=b=3。法
\B=180-30-90=60;
o
二
:由余弦定理b=a+c-2accosB
222,得
例
2、在DABC中,已知a=7,b=10,c=6,求此三角形三个角的余弦值并判定其外形。
解:由余弦定理的推论可得:cosA=
b+c-a
2bca+c-b
2aca+b-c
2ab
528
3=a+3
3()
o
-2´33a´cos30,化简可得a2-9a+18=0,解得a=6或a=3。
2940
=
100+36-49
12049+36-100
8449+100-36
140
=
当a=6时,由正弦定理得sinA=
asinBb
=1,\A=90,C=60;
oo
cosB===-
528
当a=3时,由正弦定理得sinA=
asinBb
=
2,\A=30o,C=120o
cosC===
113140
问题拓展:假如此题只要求判定三角形外形,是否还是根据上述步骤进展求解。请同学分析上述两种解法的优缺点,从而总结适合自己的方法。
[补充练习]在DABC中,若a2=b2+c2+bc,求角A(答案:A=1200)Ⅳ.课时小结(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
(2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。
由cosB=-<0可知B为钝角,所以DABC为钝角三角形。
o
例
3、在DABC中,已知b=3,c=33,B=30,解此三角形。
解:
其次篇:余弦定理教案
余弦定理
课型:新知课上课时间:5月16日
教学目的:
1、把握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法。
2、会运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。
3、培育学生在方程思想的指导下解三角形问题的力量。重难点分析
重点:余弦定理的发觉和证明过程及其根本应用。难点:由勾股定理及向量的数量积发觉余弦定理。学前分析:
余弦定理是初中学习勾股定理同角的推广,也是前阶段学面对量学问在三角形中的交汇应用。课前预备:
多媒体课件、电脑、投影仪教学设计:
一、新课引入
生活实例:隧道工程设计
提出问题:①如何求出隧道的实际长度?②用正弦定理能否求出其长度?
③用平面对量的数量积能否求出其长度?
二、探究讨论,引出定理
1、化归:已知三角形的两边及它们的夹角,求第三边,即在DABC中,已知AB=C,AC=b,ÐA=A,求a。
2、探究:
由BC=BA+AC则BC×BC=BA+AC×BA+AC即BC=BA+2BA×AC+AC
uuur2uuuruuuruuur=BA+2BA×ACcosA+AC222()()
=c2-2bccosA+b2
\a2=c2-2bccosA+b2同理可得:b2=a2-2accosB+c2
c2=a2-2abcosC+b2余弦定理文字表述:
三角形任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边的它们夹角的余弦的积的两倍。
三、例题讲解:
eg1:在DABC中,a=1,b=2,Ðc=120°求c的值。解:由余弦定理知c2=a2+b2-2abcosÐc即c2=12+22-2×1×2×cos120°=7\c=7练习:在DABC中,已知b=8,c=3,A=60°求a问题:已知三角形的边长,如何求出其三个内角?余弦定理的变式
b2+c2-a2cosA=
2bca2+c2-b2cosB=
2aca2+b2-c2cosC=
2aceg2:在DABC中,已知a=22,b=23,c=6+2,求三内角A、B、C。
解:由余弦定理可知
b2+c2-a2(23)2+(6+2)2-(22)22cosA===2bc22´23´(6+2)
\A=45o
a2+c2-b21cosB==
2ac2\B=60o
从而C=180o-(A+B)=75o变式练习:
1、若例1中条件不变,如何求出ÐA、ÐB?
2、在不等边DABC中,a为最大边,且a2<b2+c2,求A的范围。
四、课堂小结
1、余弦定理是任何三角形之间存在的共同规律,、余弦定理有两个根本应用:一是已知两边及它们的夹角,求第三边,、布置作业
1、平行四边形两角邻边的长分别为46和43,它们的夹角为45o,求这个平行四边形的两条对角线的长与它们面积。
2、在DABC中,已知a=84,b=56,c=74,求A及SDABC
3、课外思索:
余弦定理和正弦定理反映了三角形边、角之间的度量关系,本质上是全都的,你能证明这两个定理是等价的吗?
第三篇:余弦定理教案
《余弦定理》教学案例
天印高级中学张梅
一、教材分析及设计思路
1、教材分析
“余弦定理”是全日制一般高级中学教科书(数学必修5)第一章第一节的主要内容之一,是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一,也是初中“勾股定理”内容的直接延拓,它是三角函数一般学问和平面对量学问在三角形中的详细运用,是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的其次节课,其主要任务是引入并证明余弦定理,在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出,学生不是被动的、消极的学问的承受者,而是主动的、积极的学问的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境,引导学生去思索,参加学问获得的过程。因此,做好“余弦定理”的教学,不仅能复习稳固旧学问,使学生把握新的有用的学问,体会联系、进展等辩证观点,而且能培育学生的应用意识和实践操作力量,以及提出问题、解决问题等讨论性学习的力量。