数值分析.doc

A卷解答
设关于精确数具有位有效数字,
(1) 估计的相对误差;
(2) 若,估计对于的误差和相对误差. (12分)
解: (1)由题知, ,则
的相对误差:
(2)
求一个三次多项式,使得:
. (10分)
解:设,则


求的一次最佳平方逼近多项式. (10分)
解: 设为的一次最佳平方逼近多项式,
内积
, , ,
, .
建立法方程组:

,

求系数,使得下面求积公式至少具有次代数精度,
. (12分)
解: 分别令代入求积公式,得:


,
解得: , ,
已知方程组
分别写出求解方程组的迭代格式和迭代格式,
并判别两种迭代格式的收敛性. (12分)
解: 求解方程组的迭代格式:

求解方程组的迭代格式:

收敛性:
由于是严格对角占优矩阵
因而,求解方程组的迭代格式和迭代格式均收敛。
已知,求Householder矩阵,
使得: . (12分)
解:设所求的Householder矩阵为,由定理得

用Newton法求方程的正根,取,要求计算结果保留到小数点第六位。(12分)
解:,建立其Newton迭代格式

选取初值,有





已知初值问题
取步长, 用欧拉公式求出初值问题的解函数y的数值解. (10分)
(保留4位小数)
解:建立具体的Euler公式,
将代入可得
利用顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)
. (10分)
解:消元过程:
回代过程:
由(1)得:
代入(2)

均回代到(1)

, ,
B卷答案
要求的近似值的相对误差不超过,问至少应具有
几位有效数字? (10分)
解:,可得
由

已知在的函数值如下表

0 1 2 3 4
0 1 8 27 64
利用插值公式计算的值。(12分)
解:函数的差分表如下

0
1
1 6
7 6
8 12 0
19 6
27 18
37
64
,由Newton向前插值公式,
可分别求得
利用最小二乘法求解下面方程组
。(12分)
解: 其中,
, ,
最小二乘法的法方程为:
即:

,
利用辛甫生求积公式计算积分:,并估计其误差。(10分)
解:由辛甫生求积公式,



误差:
用隐式(向后)Euler公式解下面初值问题: (取步长)
. (10分)
解:建立具体的向后Euler公式
将代入可得

已知
,取
写出乘幂法的算法;
利用乘幂法计算求的按模最大特征值及其相应的特征向量(保留两位小数) 。(12分)
解:(1)该题的乘幂法算法(计算格式)如下:
其中,
(2)依上面乘幂法计算格式可得下表:

0
1
2
3
4
5
6


2






3
3
3
3
3
3


3
3
3
3
3
3

1






1
1
1
1
1
1
1
由上表知:
按模最大特征值为3 ,相应的特征值为
证明:迭代格式是求的三阶方法. (12分)
证明: ,为方程的根。
将方程化为:
对上式分别求一、二、三阶导数,可得:
。

,
由定理知,该迭代格式为三阶收敛方法。

已知迭代格式: ,其中
(1) 判别该迭代格式是否收敛?
(2) 取,计算。(12分)
解: 先验证: .

因迭代格式收敛,由于,故:
即,
记:
于是: ,
即, 即为精确解.
用顺序消元法求解方程组:(要求写出消元过程和回代过程)
. (10分)
解:消元过程: