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第二节相似矩阵
一、相似矩阵的概念与性质
二、利用相似变换将矩阵对角化
三、实对称矩阵的性质
五、小结
四、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化
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一. 相似矩阵的概念与性质
设A,B都是n阶方阵,如果存在一个
可逆矩阵P,使
可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.
则称A与B是相似的,称为对A作相似变换,
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矩阵的相似关系是一种等价关系,即有
(1)自反性
(2)对称性
(3)传递性
则
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相似矩阵的性质:
性质1 相似矩阵具有相同的秩及相同的行列式.
证若A与B相似,则存在可逆矩阵P,使
则A与B等价,所以秩相同,且
性质2 相似矩阵若可逆,则逆矩阵也相似.
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性质3 若A与B相似,则Ak与Bk相似,其中k为自然数.
相似矩阵有相同的特征多项式及相同的特征值.
证
证由得
而
所以相似。
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注: (1) 定理的逆命题并不成立,即特征多项式
(2)若A与一个对角矩阵相似,则对角矩阵的对角线元素为A的特征值. 非零对角线元素的个数为A的秩, 对角线元素的乘积为A的行列式.
的特征多项式相同, 但不相似.
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证明
二、利用相似变换将方阵对角化
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命题得证.
因此,
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注:
(1)方阵A如果能够对角化,则对角矩阵Λ在不计λk的排列顺序时Λ是唯一的,称为A的相似标准形。
(2)相似变换矩阵P就是A的n个线性无关的特征向量作为列向量排列而成的。
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