求函数周期的方法.docx

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求函数周期的方法
一、定义法
周期函数的定义:设函数f(x)定义在数集D上,若存在常数T〉0,VxeD,且f(x+T)二f(x),则f(x)为周期函数,称其中最小的正常数T为最小正周期。
例1:求函数y=lsinxl+lcosx丨的最小正周期•
例2:求函数y二sin2X的最小正周期
根据定义VT>0,因为sin2(x+T)—sin2(x)=0
2血¥遇£2亦字血2=0,亦即sin(2x+T)sin(t)=0,由此可得
sin(2x+T)=0或者sinT=0
由于sin(2x+T)=0的通解为T=K—2x,显然它是依赖于x,因此求不出依赖于x的非零常数解,即这样的T不能作为周期。
由sinT=0,得最小的非零正数解为T=兀,即它不依赖于x,所以y=sin2x是周期函数,且其周期为T=兀.
性质结论:
(1)若T是y二f(x),xwA的周期,贝卜T也是y二f(x)的周期.
若T是y二f(x),xeA的周期,且x+nTeA(neZ),则nT也是y二f(x)的周期.
设f(x)有最小正周期T,那么除±nT(n二1,2,3……)外,函数f(X)无其
他周期。
若f(x)是周期函数,则f(x)也是周期函数,反之不正确。
2
⑸若f(x)是定义在(-①+J上的周期函数,且f(x)乂0,则
是周期函数,且与f(x)相同的周期。
⑹若f(x)是定义在(-0+J上的周期函数,且f(xh0,则J1~)也
是周期函数,且与f(x)相同的周期。
(7)可导的周期函数的导函数也是周期函数。又若对于原函数存在的连续的周期函数f(x)(T是其最小正周期)有,JTf(x)d=0,则其原函数0x
也是周期函数,且它们的周期相同。
例:f(x)=sin2x,因为(sin2x),=sin2x,而sin2x的周期T=兀。
(8)设申(x)是以T为周期的周期函数,f(x)是任意函数,则复合函数f[p(x)]必也是以T为周期的周期函数,此时f[p(x)]的最小正周期不一定就是申(x)的最小正周期。
例:f(x)=sin2x可看成g(卩)=卩2,卩=sinx复合而成,显然sin2x的最小正周期T=兀,而sinx的最小正周期T=2兀
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二、最小公倍数法
若函数f(x)与g(x)都是定义在D上的周期函数,周期分别为T与T,且
12
T=a,a为有理数,则f土g,,其周期T为T与TT2g12
的最小公倍数。
例3:f(x)=4cosx-5sinx,因为cos-与sin-都是周期函数,且最
4545
T4
小正周期分别为T=8兀,T=10兀,产=,为有理数,所以f(x)也是周期
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函数,且最小正周期为40兀。
3
三、图像法
例4:求函数y=2sin(x+专)+1的最小正周期(2兀)
四、公式法
例5:求函数f(x)=血X+血甌的最小正周期(“)cosx+cos3x
五、单位圆法
例6:求函数y=沁的最小正周期(兀)
1一tan2x
六、等周期法
理论依据:若对于任意的xeM,都有gC+T)=g(x)Of(x+T)=f(x),且函数f(x)(xeM)的最小正周期为T,则函数g(x)(xeM)的最小正周期也为To
例7:求函数f(x)=2sinx+1的最小正周期(2k)
3sinx一5