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离散时间系统与差分方程
T[·]
离散时间系统
x (n) y(n)
一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列,输出也是一个序列,其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。
y(n)= T[x(n)]
对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。
T[ . ]
1. 线性系统(满足迭加原理的系统)
若系统的输入为x1(n)和x2(n)时,输出分别为y1(n)和y2(n),
即 y1(n)=T[x1(n)], y2(n)=T[x2(n)]
如果系统输入为ax1(n)+bx2(n)时,输出为ay1(n)+by2(n),
其中a, b为任意常数,则该系统为线性系统。所以,线性系统的条件为
T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]
=ay1(n)+by2(n)
线性系统对信号的处理可应用迭加定理。
例: 设一系统的输入输出关系为
y(n)=x2(n)
试判断系统是否为线性?
解:输入信号x (n)产生的输出信号T{x (n)}为
T{x (n)}=x2(n)
输入信号ax(n)产生的输出信号T{ax (n)}为
T{ax (n)}= a2x2(n)
除了a=0,1情况,T{ax (n)} aT{x (n)}。故系统不满足线性系统的的定义,所以系统是非线性系统。
2. 时不变系统
如果 T[x(n)]=y(n),
则 T[x(n-n0)]=y(n-n0)
( n0为任意整数)
即系统的特性不随时间而变化。
线性时不变系统简称为:LTI
3. 线性时不变系统
线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。
我们知道,任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和

如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应,
h(n)=T[δ(n)]
则系统对任一输入序列x(n)的响应为
由于系统是线性的,满足迭加定理
又由于系统是时不变的,对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。
因此
该式表明:对任何线性时不变系统,可完全通过其单位脉冲响应h(n)来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的,称为离散卷积,或线性卷积。
卷积过程:
①  对 h( m)绕纵轴折叠,得h(-m);
②  对 h(-m)移位得 h(n-m);
③将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加,得离散卷积结果 y(n)。
注:只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示
0 1 2 3 4 n
1
0 1 2 3 4 5 n
x(n)
h(n)
1/2
对 h(n)绕纵轴折叠,得h(-n)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n
对 h(-k)移位得 h(n-k)
y(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

2

1

n=0
x(k)
h(0-k)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n
y(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

2

1

x(k)
h(1-k)
n=1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n
对 h(-k)移位得 h(n-k)
y(n)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n

2

1

x(k)
h(2-k)
n=2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n
对 h(-k)移位得 h(n-k)