第六节定积分的几何应用
定积分的元素法(补充)
复习:定积分的定义:
元素法
一般步骤:
确定所求量的变化区间
在上任取一小区间
:
定积分的几何意义:
(1),表示曲边梯形的面积。
(2),表示曲边梯形面积的负值
(3)有正有负,表示曲边梯形面积的代数和。
一般公式:在直角坐标系中,由连续曲线,,及轴围成的平面图形的面积。则
或
注:
(1)一般尽可能利用对称性。
(2)为记忆方便,且计算简便,将面积向轴投影时,则为积分变量,被积函数=上--下
(3)将面积向轴投影时,则为积分变量,被积函数=右--左
选择积分变量的关键:为计算简便,尽可能不分割
面积投影后,相对的上曲线,下曲线,左曲线,右曲线均由同一方程表示,否则需分割。
例1 求椭圆的面积
注:
一定作图,关键是积分变量的选取
利用对称性
例2 求抛物线与直线所围成的图形的面积。
例3 求曲线与直线所围成的图形的面积。
一般由连续曲线
,围成的平面图形绕轴旋转的旋转体的体积
例求椭圆的分别绕轴,轴旋转产生的旋转体的体积
注:利用对称性,但注意与面积的区别,旋转时有重叠。
补充:(970410)
(1)求及轴所围图形的面积(2)
(2)求此图形绕轴旋转一周所得立体的体积。()(11/6,43/6)
作业:
课堂练习:P268/1
习题:P96/1、3、4、5、9、14(1)(3)、15、17、18、21
不做要求的有:P96/10、11、12、13、16、20、22——25
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