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三解析函数Fourier三解析函数的Fourier级数

级数
李卫东
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摘要:讨论了复平面上三解析函数的性质及其,并利用三解析函数的Taylor展开定理研究了三解析函数的Fourier级数, 推广了经典的解析函数的Fourier级数理论.

Fourier级数理论.
关键词: 复平面; 三解析函数; Fourier级数
1 引言
解析函数具有非常绝妙的性质, 作为一种有力的工具, 已被广泛的用在理论物理、弹性力学、天体力学等方面,与数学中的其他分支也有着密切的联系. 文献[1-2]引入了双解析函数, 并对双解析函数作了初步研究, 阐明了双解析函数作为解析函数在另一个方向上的扩充有着重要的理论意义和应用背景. 文献[3]讨论了三解析函数的Riemann-Hilbert边值问题. 本文在此基础上, 建立并证明了三解析函数的Fourier级数, 推广了经典的解析函数的Fourier级数理论.
预备知识四号黑体
设C表示复平面, D为C上的区域, 对于区域D内的解析函数,
, 函数应满足C-R方程组
==-
,
引入形式偏微分算子
, ,
其中的共轭复数.
定义1 设是定义在复平面G上的复函数, 关于存在k三
阶偏导数, 若在G上满足条件, , 则称为G上的三解析函数. 以后, 我们把G上所有三解析函数构成的集合记为.
根据三解析函数以及双解析函数的定义, 有以下性质成立:
性质1 若, 则, 反之成立.
性质2 若, 则, 反之成立.
性质空格去掉
3 空格去掉
解析函数类和双解析函数类是三解析函数类的一个子集, 即
性质4 ,, 则.
性质5 , 则.
引理1是区域D内三解析函数的充要条件是可表示为
, (1)
这里是区域G内的解析函数且在G内如(1)式的表达式是唯一的.
引理2 如果, 则,
其中算子,,,分别为G内的任意解析函数.
证明已知, 则,, 其中为G内的任意函数.
根据文[4]中的算子理议知,,其中,,,分别为G内的任意解析函数.

定理及其证明
定理1 (三解析函数的Taylor展开定理) 若w(z)为区域G内的三解析函数, 对任意的, 只要含于G, 则在K内能展开成幂级数
, (2)
其中
, . (3)
(), 且的展开式是唯一的.
证明利用三解析函数的Cauchy积分公式,类似于单复变函数中Taylor定理的证明即得.
定理2 (三解析函数的Fourier级数) 如果为区域G内的三解析函数, 对于任意的, 只要含于G, 则有

其中

且展式是唯一的.
证明因为在G上是三解析函数, 故有(2)式,(3)式成立. 在圆周上, 设, 则
, ,

(4)
当时, 因为在G内解析, 所以.
即
从而有(5)
将(4)式与(5)式相加, 得
(6)和四五对齐
将(4)式与(5)式相减, 得
(7)
设, 由(6)式,(7)式, 得
,
.
令, 则
,
.
当时, 由(4)式直接得
,, .
由文献[5]知, 是的Fourier系数.
将代入(2)式, 有
唯一性显然, 定理得证.
空