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第二章插值法
在科学研究与工程技术中,常常遇到这样的问题:由实验或测量得到一批离散样点,要求作出一条通过这些点的光滑曲线,以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上,即已知函数在一些点上的值,寻求它的分析表达式。此外,一些函数虽有表达式,但因式子复杂,不易计算其值和进行理论分析,也需要构造一个简单函数来近似它。
解决这种问题的方法有两类:一类是给出函数的一些样点,选定一个便于计算的函数形式,如多项式、分式线性函数及三角多项式等,要求它通过已知样点,由此确定函数作为的近似,这就是插值法;另一类方法在选定近似函数的形式后,不要求近似函数过已知样点,只要求在某种意义下在这些样点上的总偏差最小。这类方法称为曲线(数据)拟合法。
设已知区间上的实值函数在个相异点处的函数值,要求构造一个简单函数作为函数的近似表达式
使得
(2-1)
这类问题称为插值问题。称为被插值函数;为插值函数;为插值节点;(2-1)为插值条件。
若插值函数类是代数多项式,则相应的插值问题为代数插值。若是三角多项式,则相应的插值问题称为三角插值。若是有理分式,则相应的插值问题称为有理插值。
§1 Lagrange 插值
Lagrange 插值多项式
设函数在个相异点上的值是已知的,在次数不超过的多项式集合中,求使得
(2-2)
定理1 存在惟一的多项式满足插值条件(2-2)。
证明我们采用构造性的证明方法。假如我们能够构造出次多项式,使得
(2-3)
那么
(2-4)
是满足插值条件(2-2)的插值多项式。
余下的问题就是如何构造出满足式(2-3)的次多项式。由于当时,,即是的零点,因此必然具有形式
又因,故,因此
(2-5)
至于多项式的惟一性是极其简单的事实,只要注意到次多项式且有零点这一事实。
公式称为Lagrange 插值公式,相应的称为Lagrange插值多项式,称为节点上的次插值基函数。
令,由插值多项式的存在惟一性可得
(2-6)
由(2-6)知,任取,那么均可用线性表出。由此看出,就是。
在(2-6)中取,则。
为了今后的需要,我们引入以下记号
(2-7)
容易求得
并有,将其代入插值基函数的表达式
于是插值公式可写为
(2-8)
插值余项及估计
称为Lagrange 插值多项式的余项.
定理2 设,且在内存在,是以为插值节点函数的Lagrange插值多项式,则对内的任意点,插值余项为
(2-9)
证明对上任意的点,且,构造辅助函数
显然,又由插值条件可知,故函数在内至少有个零点。根据罗尔(Rolle)定理,函数在内至少存在个零点,反复应用罗尔(Rolle)定理,可以得出在内至少存在一个零点,设为,即
由于
所以有
证毕。
推论1 设,
在上存在,则有
(2-10)
其中。
证明对上任意的,可设属于的一个子区间,由此可以得出
从而有
此不等式与式(2-9)相结合有
由此可得到估计式(2-10)。
证毕。
例1已给, ,用线性插值及拋物线插值计算的值,并估计截断误差。
解由题意取
用线性插值计算,取及,由公式(2-4)得
其截断误差由(2-9)得
其中。因,可取,有
用抛物插值计算。由公式(2-4)得
有
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样,这说明用二次插值精度已相当高了
.其截断误差限由(2-9)得
其中,于是
§2 均差与Newton插值公式
均差及其性质
Lagrange插值公式结构紧凑和形式简单,在理论分析中甚为方便。但Lagrange插值公式也有其缺点,当插值节点增加、减少或其位置变化时,全部插值基函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构将发生变化,这在实际计算中是非常不利的。Newton插值公式可以克服这个缺点,
定义1 称为关于点的一阶均差。
为关于点的二阶均差。一般地,有了阶均差之后,称
(2-11)
为关于点的阶均差(差商)。
均差有如下的基本性质:
性质1 各阶均差具有线性性,即若,则对任意正整数,都有
性质2 阶均差可表示成的线性组合,即
这个性质可用归纳法证明。它也表明均差与节点的排列次序无关,称为均差的对称性。
性质3 设,并且,为相异节点,那么的阶均差与其阶导数有如下关系
牛顿插值多项式
由各阶均差的定义,依次可得
将以上各式分别乘以,然后相加并消去两边相等的部分,即得
其中
(2-12)
(2-13)
显然,是至多次的多项式。而由
即得。这表明满足插值条件(2-2),因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。
Newton插值的优点是:每增加一个节点,插值多项式只增加一项,即