内切球外接球问题.doc

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内切球外接球问题
内切球外接球问题
办理球的“内切”“外接”问题
一、球与棱柱的组合体问题:
正方体的内切球:
设正方体的棱长为切的球半径。

a,求(

1)内切球半径;(

2)外接球半径;(

3)与棱相
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
(1)截面图为正方形

EFGH

的内切圆,得

R

a

;
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
2
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,
如图4作截面图,圆O为正方形EFGH的外接圆,易得R
2a。
2
(3)正方体的外接球:正方体的八个极点都在球面上,如图
5,以对角面AA1
作截面图得,圆O为矩形AA1C1C的外接圆,易得RA1O
3a。
2
2.
在球面上
有
四个点P、
A、B、C.
如
图3
图4
果PA、PB、
图5
PC两两相互垂直,且PA
PBPCa,求这个球的表面积是______.
【构造直三角形,巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中心及底面一极点构成的直角三角形即可得球半径。】
已知底面边长为a正三棱柱ABCA1B1C1的六个极点在球O1上,又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切,求球O1与球O2的体积之比与表面积之比。
解析:先画出过球心的截面图,再来研究半径之间的关系。
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
解:如图6,由题意得两球心O1、O2是重合的,过正三棱柱的一条侧棱AA1和
它们的球心作截面,设正三棱柱底面边长为
a
,则R2
3a,正三棱柱的高为
6
h
2R2
3a,由RtA1D1O中,得
图6
3
2
2
2
R12
3a
R22
3a
3a
5a2,R1
5a
3
3
6
12
12
S:S
R
2:R2
5:1,V:V
2
55:1
1
2
1
2
1
二棱锥的内切、外接球问题
?
解析:运用正四周体的二心合一性质,作出截面图,经过
点、线、面关系解之。
解:如图1所示,设点O是内切球的球心,正四周体棱长
,
半径为r,外接球半径为R.
EO2,即R23a
2
在RtBEO中,BO2
BE2
r2,得
3
图1
6
Ra,得R3r
4
【评论】因为正四周体自己的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合
的,为正四周体高的四均分点,即内切球的半径为h(h为正四周体的高),且外
4
接球的半径3h,从而可以经过截面图中RtOBE建立棱长与半径之间的关系。
4
,底面边长为3,侧棱长为2,则其外接球和内切球的半径是
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
多少
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
正四棱锥SABCD,底面边长为2,侧棱长为3,则其外接球和内切球的半径
是多少
练习:
1.(球内接正四周体问题)一个四周体的全部棱长都为2,四个极点在同一球面上,
则此球的表面积为
(球内接长方体问题)一个长方体的各极点均在同一球的球面上,且一个极点
上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为。
,A,B,C是球O面上的四点,且PA,PB,PC两两相互垂直,若PAPBPCa,
则球心O到截面ABC的距离是.
4.(球内接正三棱锥问题)在正三棱锥SABC中,侧棱SC侧面SAB,侧棱SC2,
则此正三棱锥的外接球的表面积为
内切球外接球问题
内切球外接球问题
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5.(球内接棱柱问题)

若一个底面边长为

3

,棱长为

6的正六棱柱的全部极点
内切球外接球问题
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内切球外接球问题
2
都在一个平面上,
则此球的体积为.
6.(正三棱柱内切球、外接球问题)一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱
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的两个底面和三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个极点),则此内
切球与外接球表面积之比为。
(球内接正四棱锥问题)
四棱锥的体积为.
(正三棱锥球内切问题)正三棱锥的高为3,底面边长为83,正三棱锥内有一
.
,其他各棱长均为5,求三棱锥的内切球半
内切球外接球问题
内切球外接球问题
内切球外接球问题
径.
说明:球与正三棱锥四个面相切,实质上,球是正三棱锥的内切球,球心到正三
棱锥的四个面的距离相等,
棱锥面的距离,而点面距离常可以用等体积法解决.
1
3;2
14;3
3a;4
12;5
9
;6
1:5;7
2R3;8
6
2
3
64
;256
9
81
内切球外接球问题
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