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基础再现

,真子集(非空子集)个数为;
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函数定义域的求法:函数解析式有意义;符合实际意义;定义域优先原则.
函数解析式的求法:代入法,凑配法,换元法,待定系数法,函数方程法.
函数值域的求法:
(1)配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题).
如:求,的最大值与最小值(最大值分两类;最小值分三类).
(2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.
如:求的值域.
(3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性.
(4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性.
如:函数在上单调递减,求的取值范围.
(5)数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、:求函数的最小值.
(6)判别式法――常见题型:①型;②型,先化简,再用均值不等式,如:;③型,通常用判别式法(或分离常数化为②型);④型,可先化简为.
(7)不等式法――利用基本不等式求函数的最值.
如:,且,求的最大值.
又如:求,的最小值.
(8):求,的极小值.
提醒:求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?
分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论.
如:已知函数单调递减,求的取值范围.
复合函数的有关问题:
(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可;若已知的定义域为,求的定义域,相当于当时,求的值域(即的定义域).
(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
函数的奇偶性
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
(2)是奇函数;
(3)是偶函数;
(4)奇函数在原点有定义,则(可用于求参数);
(5)在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性.
如:是函数.
函数的单调性
(1)单调性的定义:在区间上是增(减)函数当时,;
(2)单调性的判定:①定义法:注意:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法(同增异减);④图像法.
注:证明单调性要用定义法或导数法;求单调区间,先求定义域;多个单调区间之间不能用“并集”、“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.
函数的周期性
周期性的定义:对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,,遇到的周期都指最小正周期.
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(1);
(2).
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(要对以及展开讨论.)
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(要对以及展开讨论.)
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在考查学生对幂函数性质的掌握和运用函数性质解决问题时,涉及的幂函数中的常在集合中取值.
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补充:

(1)图象作法:①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法.
(2)图象变换:
平移变换: ⅰ.,———左“+”右“-”;
ⅱ.,———上“+”下“-”;
伸缩变换:
ⅰ., (———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;
ⅱ., (———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍;
对称变换:ⅰ.;ⅱ.;
ⅲ. ; ⅳ.;
翻转变换:
ⅰ.———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ.———上不动,下向上翻(||在下面无图象).
:⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法.
(为的值域).
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(1)分离参数法:恒成立;恒成立.
注意:“”与“”的区别.
(2)不分;(3)数形结合(4)特值缩小参数范围;(5)二次不等式恒成立.
例:(1)设实数满足,当时,的取值范围是______.
(2)不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围_____.
(3)若不等式对满足的所有都成立,则的取值范围_____.
(4)若不等式对于任意正整数恒成立,则实数的