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方差分析
一方差分析的意义
工业生产中产品质量优劣,农业生产中产量高低,由诸多因素造成。如农业生产中,肥料,浇灌,良种,管理等;化工生产中,原料成分,催化剂,剂量,反应温度,压力,溶液,机器设备与操作人员水平。每种因素的改变,可影响产品质量与数量,那么在诸因素中找出对质量的某种指标有显著影响的因素,还要弄清这些显著因素在什么状态下(水平)起的作用大。方差分析就是根据试验结果进行分析,鉴别各个因素对试验结果影响的有效方法。
试验指标:在试验中要考察的指标称为试验指标。
因素:影响试验指标的条件称为因素。
可控因素: 如,反应温度,原料剂量,浓度。
不可控因素:如,测量误差,气象条件等。
水平:因素所处状态称为因素的水平。
单因素试验:试验中只有一项因素在改变称为单因素试验。否则就称多因素试验。
例1 设有三台机器,用来生产规模相同的铝合金薄板,取样测量薄板至千分之一厘米,得结果如下表所示;
机器1 机器2 机器3





x = x = x =
这里,试验指标是薄板的厚度。机器为因素,不同的三台机器是这个因素的三个不同的水平。试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著差异。
例2 下面列出了随机选取的,用于计算器的四种类型的电路的响应时间(以毫秒计)。
电路的响应时间
类型1 类型2 类型3 类型4
19 20 16 18
22 21 15 22
20 33 16 19
18 27 26
15 40 17
这里,试验指标是电路的响应时间。电路类型为因素,这一因素有四个不同的水平。试验的目的是为了考察各种类型的电路的响应时间有无显著差异。
二单因素试验
在例 1 中,我们在因素的每一个水平下进行了独立试
验,其结果是一个随机变量。表中的数据可看成来自三个不同总体的样本值。将各个总体的均值依次记作1 ,  2 ,
 3,按题意需检验假设
H0 : 1 = 2 = 3
H1 : 1 , 2 , 3 不全相等。
现在若假设各总体均为正态变量,且各总体的方差相等,
那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的
问题。
设因素A有s个水平A1 , A2 , …, As, 在水平Aj (j=1,2, …s)
下,进行了nj (nj2) 次独立试验,得到如下表的结果

水平
观察值 A1 A2 … As
x11 x12 … x1s
x21 x22 … x2s
…………
xn1 1 xn2 2 … xns s
样本总和 T. 1 T. 2 … T. s
样本均值. . .
总体均值 1  2 . . .  s
我们假定:各个水平Aj (j=1,2,…,s)下的样本x1j , A2j , …, Anj j 来自具有相同方差s2,均值分别为mj(j=1,2,…,s)的正态总体N (mj,s2) , mj与s2未知。且设不同水平Aj 下的样本之间相互独立。
其中mj与s2均为未知参数,(1)式称为单因素试验方差分析的数学模型。
方差分析的任务是对于模型(1):
10 检验s 个总体N (m1,s2), …, N (ms,s2)的均值是否相等
H0 : 1 = 2 = …= s , (2)
H1 : 1 , 2 , …, s 不全相等。
20 作出未知参数1 , 2 , …, s ,s2的估计。
利用这些记号,模型(1)可改写成
而假设(2)等价假设
H0 : 1 = 2 = …= s = 0 (2)’
H1 : 1 , 2 , …, s 不全为零。
这是因为当且仅当1 = 2 = …= s 时,  j = ,即 j =0.
三平方和的分解