实用圆切线方程的证明.doc

关于圆的切线方程及相关公式的证明
一、点P(x0,y0)在圆上
1、在圆的标准方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2上,则过点P(x0,y0)的切线方程为
(x0-a) (x-a) +(y0-b) (y-b) =r2或(x0-a) (x-x0) +(y0-b) (y-y0) =0
证明:∵P(x0,y0)在圆上,(x0-a) 2+(y0-b) 2=r2,圆心O(a,b),OP的斜率
∴切线的斜率为,切线方程
①
(x0-a) 2+(y0-b) 2=r2 ②
①+②得出(x0-a)(x-x0+x0-a)+(y0-b)(y-y0+y0-b)= r2
(x0-a) (x-a) +(y0-b) (y-b) =r2
2、在圆的特殊方程x 2+y2=r2上,则过点P(x0,y0)的切线方程为
x0x + y0y==r2 (当a=0,b=0)
3、在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P(x0,y0)的切线方程为x0x + y0y + D×( )+ E×( )+ F =0
证明:x2+y2+Dx+Ey+F=0
化成圆的标准方程
∵P(x0,y0)在圆上,,OP的斜率∴切线的斜率为,切线方程
①
②
①+②得出
x0x + y0y + D×( )+ E×( )+ F =0
二、点P(x1,y1)在圆外
1、切线长(标准方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2)
证明:用勾股定理。
切线长(一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0)
证明:把圆的方程整理成标准方程,用勾股定理。
2、过切点AB弦的直线方程
(1) (x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)= r2 (弦方程) (标准方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2)
★圆上切线圆外弦
(x0-a) (x-a) +(y0-b) (y-b) =r2 (切线方程)
(2)x1x + y1y + D×( )+ E×( )+ F =0 (一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0) (弦方程)
x0x + y0y + D×( )+ E×( )+ F =0 (切线方程)
证明(1):设切点A(x01,y01),B(x02,y02),过切点A、B的切线方程为
(x01-a) (x-a) +(y01-b) (y-b) =r2
(x02-a) (x-a) +(y02-b) (y-b) =r2
∵两条切线均过P(x1,y1)
则(x01-a) (x1-a) +(y01-b) (y1-b) =r2 ①
(x02-a) (x1-a) +(y02-b) (y1-b) =r2 ②
由①②式得出点A(x01,y01),B(x02,y02) 满足线性方程
(x-a) (x1-a) +(y-b) (y1-b) = r2
因此AB的直线方程(x1-a) (x-a) +(y1-b) (y-b) = r2
证明(2): x2+y2+Dx+Ey+F=0
设切点A(x01,y01),B(x02,y02),过切点A、B的切线方程为
x01x + y01y + D×( )+ E×()+ F =0
x02x + y02y + D×( )+ E×()+ F =0
∵两条切线均过P(x1,y1)
x01x1 + y