高中数学三角函数知识点.pdf

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
1.①与(0°≤<360°)终边相同的角的集合(角与角的终边重合):|k360,kZ
▲y

②终边在x轴上的角的集合:|k180,kZ32
sinxsinx
41
③终边在y轴上的角的集合:|k18090,kZ
cosxcosxx
cosxcosx
④终边在坐标轴上的角的集合:|k90,kZ
14
sinxsinx
⑤终边在y=x轴上的角的集合:|k18045,kZ23
SIN\COS三角函数值大小关系图
⑥终边在yx轴上的角的集合:|k18045,kZ1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
⑦若角与角的终边关于x轴对称,则角与角的关系:360k
⑧若角与角的终边关于y轴对称,则角与角的关系:360k180
⑨若角与角的终边在一条直线上,则角与角的关系:180k
⑩角与角的终边互相垂直,则角与角的关系:360k90
:360°=2180°=1°==°=57°18′
注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式:1rad=180°≈°=57°°=≈(rad)
180
11
3、弧长公式:l||:slr||r2
扇形22
y
4、三角函数:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则sin;
r
x;y;x;r;.r.
costancotseccsc
rxyxy
5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
ya的终边
yyyy
TP(x,y)
++-+-+P
oor
ox-+xxo
--+-x
OMAx
正弦、余割余弦、正割正切、余切
6、三角函数线

正弦线:MP;余弦线:OM;正切线:AT.:
(1)y(2)y
|sinx|>|cosx|
:sinx>cosx
|cosx|>|sinx||cosx|>|sinx|
OxOx
cosx>sinx
|sinx|>|cosx|

(3)若o<x<,则sinx<x<tanx
2
高三数学总复习—三角函数
三角函数定义域
f(x)sinxx|xR
f(x)cosxx|xR
f(x)tanx1
x|xR且xk,kZ
2
f(x)cotxx|xR且xk,kZ
f(x)secx1
x|xR且xk,kZ
2
f(x)cscxx|xR且xk,kZ
8、同角三角函数的基本关系式:sincos
tancot
cossin
tancot1cscsin1seccos1sin2cos21sec2tan21csc2cot21
9、诱导公式:k“奇变偶不变,符号看象限,当成锐角看!”(kZ)
把的三角函数化为的三角函数,概括为:
2
三角函数的公式:(一)基本关系
公式组一公式组二公式组三
sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinx
sinx·cscx=1tanx=sin2x+cos2x=1
cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosx
cosx
cosx·secx=1x=1+tan2x=sec2xtan(2kx)tanxtan(x)tanx
sinx
cot(2kx)cotxcot(x)cotx
tanx·cotx=11+cot2x=csc2x
公式组四公式组五公式组六
sin(x)sinxsin(2x)sinxsin(x)sinx
cos(x)cosxcos(2x)cosxcos(x)cosx
tan(x)tanxtan(2x)tanxtan(x)tanx
cot(x)cotxcot(2x)cotxcot(x)cotx
(二)角与角之间的互换
公式组一公式组二
cos()coscossinsinsin22sincos
cos()coscossinsincos2cos2sin22cos2112sin2
2tan
sin()sincoscossintan2
1tan2
1cos
sin()sincoscossinsin
22
tantan1cos
tan()cos
1tantan22
tantan1cossin1cos
tan()tan
1tantan21cos1cossin
公式组三公式组四公式组五
1
sincossinsin1
2tancos()sin
22
sin2
1
1tan2cossinsinsin1
22sin()cos
12
coscoscoscos
21
1tan2tan()cot
212
cossinsincoscos
21
1tan2cos()sin
2sinsin2sincos
222
高三数学总复习—三角函数
1
2tansinsin2cossintan()cot
2222
tan
coscos2coscos1
1tan222sin()cos
2
coscos2sinsin2
22
62,,tan15cot7523,.tan75cot152362
sin15cos75sin75cos15
44
、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
yAsinx
ysinxycosxytanxycotx
(A、>0)
定义域RR1R
x|xR且xk,kZx|xR且xk,kZ
2
值域[1,1][1,1]RR
A,A
周期性222

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0,非奇非偶
当0,奇函数

[2k1,k,k1上为减函
[2k,;k,k
22k]22数(kZ)2k
2(A),
上为增函上为增函数
2k]
2数(kZ)1
2k
上为增函[2k,2(A)

数;2k1]
单调性上为减函上为增函数;
[2k,
数
22k
2
3(kZ)(A),
2k]
2
3
上为减函2k
2(A)
数(kZ)
上为减函数
(kZ)
注意:①ysinx与ysinx的单调性正好相反;ycosx与y,若yf(x)
在[a,b]上递增(减),则yf(x)在[a,b]上递减(增).
▲y
②ysinx与ycosx的周期是.
2
③ysin(x)或ycos(x)(0)的周期T.
x
O
x的周期为2(,如图,翻折无效).
ytanTT2
2

④ysin(x)的对称轴方程是xk(kZ),对称中心(k,0);ycos(x)的对称轴方程是xk
2
k
(),对称中心(1);ytan(x)的对称中心(,0).
kZk,0
22
ycos2x原点对称ycos(2x)cos2x

⑤当tan·tan1,k(kZ);tan·tan1,k(kZ).
22

⑥ycosx与ysinx2k是同一函数,而y(x)是偶函数,则
2
高三数学总复习—三角函数
1
y(x)sin(xk)cos(x).
2
⑦函数ytanx在R上为增函数.(×)[,ytanx为增函数,
同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件(奇偶性的两个条件:.一是定义域关于原点对称(奇
偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(x)f(x),奇函数:f(x)f(x))
1
奇偶性的单调性::ytanx是奇函数,ytan(x)是非奇非偶.(定义域不关于原点对称)
3
奇函数特有性质:若0x的定义域,则f(x)一定有f(0)0.(0x的定义域,则无此性质)
▲▲
yy
⑨ysinx不是周期函数;ysinx为周期函数(T);
x1/2
ycosx是周期函数(如图);ycosx为周期函数(T);x
y=cos|x|图象
1的周期为(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:y=|cos2x+1/2|图象
ycos2x
2
yf(x)5f(xk),kR.
b
⑩yacosbsina2b2sin()cos有a2b2y.
a
11、三角函数图象的作法:
1)几何法:
2)描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线).
3)利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期2,频率1||,相位x;初相(即当x=0时的相
Tf
||T2
位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|
倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的1倍,
||

得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用ωx替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)
的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的
图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:
当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。

一、反三角函数.
:⑴反正弦函数yarcsinx是奇函数,故arcsin(x)arcsinx,x1,1(一定要注明定义域,

若x,,没有x与y一一对应,故ysinx无反函数)注:sin(arcsinx)x,x1,1,arcsinx,.
22
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⑵反余弦函数yarccosx非奇非偶,但有arccos(x)arccos(x)2k,x1,1.
注:①cos(arccosx)x,x1,1,arccosx0,.
②ycosx是偶函数,yarccosx非奇非偶,而ysinx和yarcsinx为奇函数.

⑶反正切函数:yarctanx,定义域(,),值域(,),yarctanx是奇函数,
22
arctan(x)arctanx,x(,).注:tan(arctanx)x,x(,).

⑷反余切函数:yarccotx,定义域(,),值域(,),yarccotx是非奇非偶.
22
arccot(x)arccot(x)2k,x(,).注:①cot(arccotx)x,x(,).
②yarcsinx与yarcsin(1x)互为奇函数,yarctanx同理为奇而yarccosx与yarccotx非奇非偶但满足
arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].
⑵正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
a的取值范围解集a的取值范围解集
①sinxa的解集②cosxa的解集
>1>1
aa
=1x|x2karcsina,kZ=1
aax|x2karccosa,kZ

<k<
a1x|xk1arcsina,kZa1x|xkarccosa,kZ
③的解集:③的解集:
tanxax|xkarctana,kZcotxax|xkarccota,kZ
二、三角恒等式.
组一sin2n1sin33sin4sin3sin2sin2sinsin
coscos2cos4...cos2n
2n1sincos34cos33coscos2cos2
组二
nsin
coscoscoscoscos
2k2482n
k12nsin
2n
nsin((n1)d)cos(xnd)
cos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)
sind
k0
nsin((n1)d)sin(xnd)
sin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)
sind
k0
tantantantantantan
tan()
1tantantantantantan
组三三角函数不等式
sinx
sinx<x<tanx,x(0,)f(x)在(0,)上是减函数
2x
若ABC,则x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC
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