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空间向量知识点概括总结
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空间向量知识点概括总结
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知识重点。
空间向量的观点:在空间,我们把拥有大小和方向的量叫做向量。
注:(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
空间向量的运算。
定义:与平面向量运算同样,空间向量的加法、减法与数乘运算以下(如图)。
OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)
运算律:⑴加法互换律:abba
⑵加法联合律:(ab)ca(bc)
⑶数乘分派律:(ab)ab
共线向量。
1)假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量
或平行向量,a平行于b,记作a//b。
当我们说向量a、b共线(或a//b)时,表示a、b的有向线段所在的直线可能是同向来
线,也可能是平行直线。
(2)共线向量定理:空间随意两个向量

a、b(b

≠0),a//b

存在实数

λ,使

a

=λb

。
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共面向量
1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间随意的两向量都是共面的。
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(2)共面向量定理:假如两个向量

a,b

不共线,

p与向量

a,b

共面的条件是存在实数

x,y
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使p

xa

yb。
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:假如三个向量
的有序实数组x,y,z,使pxa

yb

a,b,c
zc。

不共面,那么对空间任一直量

p,存在一个独一
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若三向量

a,b,c不共面,我们把

{a,b,c}

叫做空间的一个基底,

a,b,c

叫做基向量,空间任
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意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。
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推论:设

O,A,B,C

是不共面的四点,则对空间任一点

P,都存在独一的三个有序实数
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x,y,z,使

OP

xOA

yOB

zOC

。
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:
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(1)空间直角坐标系中的坐标:
在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点A,存在独一的有序实数组(x,y,z),使
OAxiyizk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,记
作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标。
(2)若空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{i,j,k}
表示。
(3)空间向量的直角坐标运算律:
①若a(a1,a2,a3),b
(b1,b2,b3),则ab(a1b1,a2b2,a3
b3),
ab(a1b1,a2
b2,a3
b3),
a(a1,a2,a3)(
R),
aba1b1a2b2a3b3,
a//ba1
b1,a2
b2,a3
b3(R),
aba1b1
a2b2
a3b3
0。
②若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB(x2x1,y2
y1,z2z1)。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐
标。
(4)模长公式:若
a
(a,a,a),b
(b,b,b),
1
2
3
1
2
3
则|a|
aa
a12
a22
a32
,|b|
bb
b12
b22
b32
(5)夹角公式:
cosa
b
ab
a1b1a2b2
a3b3
。
2
2
2
2
2
|a||b|
a2
2
a1
a3
b1
b2
b3
(6)两点间的距离公式:若
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
2
(x2x1)2
y1)2
z1)2
则|AB|
AB
(y2
(z2
,
或dA,B
(x2
x1)2
(y2
y1)2
(z2
z1)2
空间向量的数目积。
1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b,在空间任取一点O,作
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OAa,OBb,则AOB叫做向量a与b的夹角,记作a,b;且规定0a,b,
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明显有
a,b
b,a
;若
a,b
,则称a与b相互垂直,记作:ab。
2
(2)向量的模:设
OA
a,则有向线段OA的长度叫做向量
a的长度或模,记作:|a|。
(3)向量的数目积:已知向量
a,b,则|a|
|b|cosa,b
叫做a,b的数目积,记作
ab,即ab
|a||b|cos
a,b。
(4)空间向量数目积的性质:
①a
e|a|cos
a,e
。②ab
ab
0。③|a|2
aa。
(5)空间向量数目积运算律:
①(a)b
(a
b)
a(
b)。②a
bb
a(互换律)。
③a
(bc)
ab
a
c(分派律)。
6):空间向量的坐标运算:
向量的直角坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)则
(1)
a+b
=(a1
b1,a2
b2,a3b3);
(2)
a-b=(a1
b1,a2
b2,a3b3);
(3)
λa=(
a1,
a2,a3)
(λ∈R);
(4)
a·b=a1b1
a2b2
a3b3;
(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则ABOBOA=(x2x1,y2
y1,z2
z1).
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r
r
3、设a
(x1,y1,z1),b
(x2,y2,z2),则
r
r
r
rr
r
r
r
rr
0
aPb
a
b(b
0);
a
b
ab

设a=(a1,a2,a3),b=(b,b12,b3),则cos
a,b

r
r
rr
cos
|cos
|=|rabr|
|x1x2
y1y2
z1z2|
a,b
|a||b|
x12
y12
z12
x22
y22

p到平面
的距离
已知AB为平面
的一条斜线,
n为平面
的一个法
向量,A到平面
的距离为:
|AB
n|
d
|n|
【典型例题】

x1x2y1y2z1z20.
ab
ab
ab
1
1
2
2
3
3
.
2
2
2
2
2
2
a1
a2
a3
b1
b2
b3
z2
2
.
n
α
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-ABCD,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量。
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⑴ABBC;⑵ABADAA;
⑶ABAD1CC;⑷1(ABADAA)。
23
,B,C,问知足向量式:

D'
C'
A'
B'
M
D
G
C
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A
B
OP
xOAyOB
zOC(此中xy
z1)的四点P,A,B,C能否共面?

OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G
在线段MN上,且MG
2GN,用基底向量
OA,OB,OC表示
向量OG。
,在空间四边形
OABC
OA8
,
AB6
,
AC
4
,
BC
中,
O
OAB
60,求OA与BC的夹角的余弦值。
说明:由图形知向量的夹角易犯错,
如
OA,AC
135
易错写成
OA,AC
45,切
A
C
记!

ABCD中,AB
BC4,E为AC与BD的交点,BF为BC
1
1
1
1
1
1
1
1
1
与B1C的交点,又AF
BE,求长方体的高
BB1。
空间向量与立体几何练习题
一、选择题
z
,棱长为2的正方体ABCDA1BC11D1在空间直角坐标
D1
C1
A1
B1
系中,若E,F分别是BC,DD1中点,则EF的坐标为(
F
)
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A.(1,2,1)B.(1,2,1)

D(O)
C
y
E
AB
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x
C.(1,2,1)D.(1,2,1)
,ABCD—A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=A1B1,则BE1与DF1所成
4
角的余弦值是()
151
.
172
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图
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83
.
172
,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若
PAa,PBb,PCc,则BE()
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1b
1c
2
2
2

3b
1c
2
2
2

B.
D.

1a
1b
1c
2
2
2
1a
1b
3c
2
2
2
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二、填空题
图

A(1,
,
,且AC
BC0,则点
C
的坐标为
2,3)B(3,2,7)
______.

AB11C1D1中,直线
AD与平面A1BC1夹角的余弦值为_____.
三、解答题
1、在正四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中,AB1与底面ABCD所成的角为
4
,
(1)求证BD1
面AB1C(2)求二面角
B1
ACB的正切值
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,ABAC3
AP4,PA面ABC,BAC90,D是PA中点,点E在BC上,

P
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且BE
2CE,(1)求证:AC
BD;(2)求直线DE与PC夹角
D
的余弦
值;(3)
求点A到平面BDE的距离d的值.
—ABCD中,底面ABCD是向来角梯形,∠
BAD=90°,AD∥BC,
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AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.
(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;
AC
E
B
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(2
)求异面直线
与
所成角的余弦值.
AE
CD
4、已知棱长为
1的正方体AC,E、F分别是BC、CD的中点.(
1)求证:E、F、D、B共面;
1
1
1
1
(2
)求点A1到平面的BDEF的距离;(3)求直线
A1D与平面BDEF所成的角.
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5、已知正方体
ABCD-ABCD的棱长为2,点E为棱AB的中点,求:
1
1
1
1
(Ⅰ)D1E与平面BC1D所成角的大小;(Ⅱ)二面角
D-BC1-C的大小;
【模拟试题】

ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,化简以下各
表达式,并标出化简结果向量:(
1)ABBC
1
BC);
CD;(2)AB(BD
1
2
(3)AG
AC)。
(AB
2
已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量。
OEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD。(1)求证:四点
E,F,G,H共面;
(2)平面AC//平面EG。

A1B1C1D1中,B1E1
D1F1
1A1B1,
4
求BE1与DF1所成角的余弦。
已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。
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⑴求以向量

AB,AC

为一组邻边的平行四边形的面积

S;
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⑵若向量

a分别与向量

AB,AC

垂直,且

|a|=

3,求向量

a的坐标。
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ABCD

ABCD

中,

AB

4,AD

3,AA

5,

BAD

90

,
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BAA

DAA

60

,求

AC

的长。
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[参照答案]
解:如图,
(1)ABBCCDACCDAD;
(2)AB
1(BD
BC)
AB
1BC
1BD。
2
2
2
ABBMMG
AG;
(3)AG
1(AB
AC)
AG
AM
MG。
2
:(1)证明:∵四边形
ABCD是平行四边形,∴AC
ABAD,
EGOGOE,∴E,F,G,H共面;
(2)解:∵EFOFOEk(OBOA)kAB,又∵EGkAC,
EF//AB,EG//AC。
因此,平面AC//平面EG。
3.
解:不如设正方体棱长为
1,成立空间直角坐标系
O
xyz,
则B(1,1,0),E1(1,3,1),D(0,0,0),F1(0,1,1),
4
4
∴BE1(0,1,1),DF1
(0,1,1),
4
4
∴BE1
DF1
17
,
4
BE1DF1
00(11)1115。
4
4
16
15
15
cosBE1,DF1
16
。
17
17
17
4
4
:⑴
AB(
2,
1,3),AC
(1,3,2),
ABAC
1
cosBAC
2
|AB||AC|
∴∠BAC=60°,
S
|AB||AC|sin60
7
3
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⑵设a=(x,y,z),则aAB2xy3z0,
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解得x=y=z=1或x=y=z=-1,∴a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1)。
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:

|AC

|2

(AB

AD

AA)2
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因此,

|AC|

85

。
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