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π=证明的荒谬性
π=4悖论引发的
关于无穷小和极限的一些思考
问题:(转载自人人网)
如何证明Pi=4:?
画个圆,直径d=1,然后画个框住它的正方形,周长为4,在正方形四个角去四块,周长还是4,然后这么一直去下去,周长一直为4不变,直到这个正方形无限接近于圆,所以Pi=4
显然,我们都坚信上述π=4的结论是个谬论,但却很难说清到底问题出在了哪里。
相似的问题如下:
如图,线段AB为单位线段,△ABC为直角三角形,AC⊥BC。取AC、BC、AB中点D、E、C’,连接DC’、EC’构成新折线ADC’EB;然后继续取各边中点、连线,将大三角形分成更多的全等的小三角形,构成新的折边更多的折线。一直这么分下去,当小三角形个数为无穷多时,折线无限接近于线段AB。而折线的长度永远等于AC+BC的长度,于是得出结论:线段AB长度等于折线长度,亦即AC+BC的长度
产生类似谬论的原因,在于对无穷小和极限概念理解不准确。在解决上述问题之前,我们可以先看一下艾萨克·牛顿在《自然哲学之数学原理》一书中对极限理论的应用(虽然当时极限理论刚刚建立起来,还很不完善,但是正因为此,极限思想更为朴素,对解决类似几何问题有很大助益)。
《自然哲学之数学原理》第一篇·第一章·引理8
命题:如果直线AR,BR与弧ACB,弦AB以及切线AD组成任意三角形RAB,RACB,RAD,而且点A与B相互趋近并重合,则这些趋于零的三角形的最后形式是相似(全等——引用者注)三角形,它们的最终比值相等。
证明:当点B趋近于点A时,设想AB,AD,AR延伸至远点b,d和r,作rbd平行于RD,令弧Acb总是相似于弧ACB。在设点A与B重合,则角bAd将消失,所以,三个三角形,rAb,rAcb,rAd(总是有限的)也将重合,也就是说相似且相等。所以,总是与它们相似的并成正比的三角形RAB,RACB,RAD相互间也将既相似且相等。
这个证明看起来是很自然的,但是其中隐藏着和上述两个问题相同的“问题”:当A和B重合后,△ARB、△ARD、扇形ARBC都退化成了直线,怎么可能相似于△rAb、△rAd和扇形rAcb
当然,牛顿的叙述有些不严谨,“A与B重合”的含义是A点趋近于B点。“趋近于”不代表“等于”,并且在这个过程中永远不会等于。
但是,如果A与B不重合,rAb,rAcb,rAd怎么可能重合呢我们应当注意到在命题中描述的是这些趋于零的三角形的最后形式是相似三角形,它们的最终比值相等。“最终比值”这个词是很有意义的,它表达了“取极限”的过程,暗示了“重合”只是极限状态;同时还说明了“极限”只有在具体量的变化中才有意义。
其次,在证明中我们看到,不论变化到什么地步,某些几何关系是恒存在的,如相似。同样的,如果A点真的与B点重合了,这些相似关系当然不存在了,但“重合”不是在极限的变化之中的,正如一个数列的极限不在数列之中一样。下面我们将这两点运用到对上述问题的思考中来。
我们注意到,在前两个问题的证明论述中,都用到了“正方形无限接近于圆”或“折线无限接近于线段”,这类描述几何图形的极限的语言。但是,“几何图形的极限”这一含义是模糊的,因为几何图形的属性以及多个几何图形之间的关系是复杂的,牵涉其中的度量量也是很多的,但是这些量之间又不一定存在确定的关系(如周长与面积,同面积的图形周长不一定相等,反之亦然),所以我们无法通过一个量的最终性质完全地确定其它量,即不能通过一个量确定几何图形的所有性质。换句话说,我们只能讨论变化的量的极限,而讨论几何图形的极限是没有确切意义的。
在上述三个问题中,我们可以用以下方式描述“几何的极限”。问题中,我们可以作内圆的外接折线形的外接圆,在变化过程中,内外两个圆的半径无限接近,也就意味着内圆的外接折线形上任意一点到内圆的距离可以小于任意给定值。这便是“外接折线形无限接近于圆”的确切含义。在简化问题中,我们可以把三角形的直角顶点相连,得到与AB平行的一条直线,两条线的距离在变化过程中趋近于零,同样说明了折线上任意一点到AB的距离小于任意给定值。而在引理8中,“点A与B重合”和“三角形rAb,rAcb,rAd重合”的数学描述是“A与B的距离趋近于零”和“∠BAD”的角度趋近于零。
这样一来,将几何图形的极限的意义在数学上明确了,并暗示了在极限过程中两个图形面积相等的必然性,而将周长问题孤立出来了。
我们都知道,面积相等的图形周长不一定相等。所以正方形的面积的极限和圆面积相等与周长的极限为何值没有任何关系。然而上述三个极限的数学描述中,只对面积关系产生了制约,却没有对周长关系产生任何影响,因为在无限接近于零的空间中的曲线长度可以为任意值,只要空间没有完全消失。而“空间完全消失”这一状态不在极限变化中。所以折线形的周长与直角特性没有丝毫改变,在极限变化过程中始终如一。它依旧是折线形,不论上面的点距离圆多么近。
所以,π=4谬论的错误就在于将不存在于变化之中的状态与取极限过程中的状态混为一谈。在以后的学习中,我们应注意避免这一问题。