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高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法
均值不等式是《不等式》一章重要内容之一,是求函数最值的一个重要工具,也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。
一、几个重要的均值不等式
①当且仅当a = b时,“=”号成立;
②当且仅当a = b时,“=”号成立;
③当且仅当a = b = c时,“=”号成立;
④,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注:①注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”;
②熟悉一个重要的不等式链:。
二、函数图象及性质
(1)函数图象如图:
(2)函数性质:
①值域:;
②单调递增区间:,;单调递减区间:,.
三、用均值不等式求最值的常见类型
类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。
例1、求函数的最小值。
解析:
,
当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最小值是。
评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。
类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值:
①
②
解析:①,
∴,
当且仅当即时,“=”号成立,故此函数最大值是1。
②,则,欲求y的最大值,可先求的最大值。
,
当且仅当,即时,
不等式中的“=”号成立,故此函数最大值是。
评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。
类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。
例3、若x、y,求的最小值。
解法一:(单调性法)由函数图象及性质知,当时,函数是减函数。证明:任取且,
则,
∵,∴,则,
即在上是减函数。
故当时,在上有最小值5。
解法二:(配方法)因,则有,
易知当时, 且单调递减,则在上也是减函数,
即在上是减函数,当时,在上有最小值5。
解法三:(导数法)由得,当时,,
则函数在上是减函数。故当时,在上有最小值5。
解法四:(拆分法),
当且仅当时“=”号成立,故此函数最小值是5。
评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。
类型Ⅳ:条件最值问题。
例4、已知正数x、y满足,求的最小值。
解法一:(利用均值不等式),
当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。
解法二:(消元法)由得,由
则。
当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。
解法三:(三角换元法)令则有
则:
,
易求得时“=”号成立,故最小值是18。
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:
。原因就是等号成立的条件不一致。
类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。
例5、已知正数满足,试求、的范围。
解法一:由,则,
即解得,
当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是。
又,
当且仅当即时取“=”号,故的取值范围是。
解法二:由,知,
则:,由,
则:,
当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。
,
当且仅当,并求得时取“=”号,故的取值范围是。
评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。
四、均值不等式易错例析:
例1. 求函数的最值。
错解:
当且仅当即时取等号。所以当时,y的最小值为25,此函数没有最大值。
分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最值时的条件,两个数都应大于零,因而导致错误。因为函数的定义域为,所以必须对的正负加以分类讨论。
正解:1)当时,
当且仅当即时取等号。所以当时,
2)当时,,

当且仅当,即时取等号,所以当时,.
例2. 当时,求的最小值。
错解:因为
所以当且仅当即时,。
分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法中与的积不是定值,导致应用错误。
正解:因为
当且仅当,即时等号成立,所以当时,。
例3. 求的最小值。
错解:因为,所以
分析:忽视了取最小值时须成立的条件,而此式化解得,无解,所以原函数取不到最小值。
正解:令,则
又因为时,是递增的。所以当,即时,。
,求的最小值.
错解: ,,的最小值为.
分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为和,而这两个式子不能同时成立,故取不到最小值.
正解:
当且仅当即时等号成立. 的最小值为.
综上所述,应用均值不等式求最值要注意:
一要正:各