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函数的单调性
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1< x 2 时
函数单调性判定
单调函数的图象特征
y
x
o
a
b
y
x
o
a
b
1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ),
则 f ( x ) 在G 上是增函数;
2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ),
则 f ( x ) 在G 上是减函数;
若 f(x) 在G上是增函数或减函数,
增函数
减函数
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
G 称为单调区间
G = ( a , b )
一、复习与引入:
(1)函数的单调性也叫函数的增减性;
(2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。
(3)单调区间:针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数,则为单调递增区间;
若函数在此区间上是减函数,则为单调递减区间。
以前,<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2).
二、新课:
我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=
f(x)的导数.
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
y
x
o
1
1
-1
在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即>0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即<0 时,函数y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在
这个区间内>0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内
的增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)
在为这个区间内的减函数.
由上我们可得以下的结论:
如果在某个区间内恒有,则为常数.
例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个
区间内是减函数.
解:
由2x-2>0,解得x>1,因此,当时,f(x)是增函数;
令2x-2<0,解得x<1,因此,当时,f(x)是减函数.
例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或
时, f(x)是增函数.
令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时, f(x)是减函数.
故f(x)在(-∞,1)和
(3,+∞)内是增函数,
在(1,3)内是减函数.
1
0
3
3
1
y
x
而我们可以从右边的
函数的图象看到上面的结论是正确的.
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1):求导数
(2)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式
<0得f(x)的单调递减区间.
练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.
答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).
三、综合应用:
例1:确定下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x/2+sinx;
解:(1)函数的定义域是R,
令,解得
令,解得
因此,f(x)的递增区间是:
递减区间是:
解:函数的定义域是(-1,+∞),
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
由即得x<-1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义
域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
(3)
解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
由及解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间
是(0,3a/4).
由及解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间
是(3a/4,a).
说明:
事实上在判断单调区间时,如果出现个别点使得
导数为零,不影响包含该点的某个区间上的单调
性,只有在某个区间内恒有导数为零,才能判定
f(x)在这一区间内是常数函数.