五年级奥数——完全平方数.pdf

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一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平
方数。例如:
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,
324,361,400,441,484,……
判断一个数是否为完全平方数,我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘
积,这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料:毕达哥拉斯发现,当小石子的数目是1、4、9、16……等数时,小石子
都能摆成正方形,他把这些数叫“正方形数”,如图所示:
分别记各图所示的小石子个数为a(i=1、2、3、……、n)不难发现:
i
a=1=12
1
a=1+3=4=22
2
a=1+3+5=9=32
3
a=1+3+5+7=16=42
4
………
1(n1)n
a=1+3+5+…+(2n-1)==n2
n2
毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来,得到一个定理:从1开始,任何
连续个奇数之和都是完全平方数。(注:这个和其实就是奇数个数的平方)
【例一】求自然数列前n个奇数的和:1+3+5+7+……+(2n-1)
一讲一练:(04浙江五年级夏令营)袋子里共有415只小球,第一次从袋子里取出1
只小球,第二次从袋子里取出3只小球,第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球,
如果剩下的球不够取,则将剩下的球留在袋中。那么,最后袋中留下多少个球?
【例二】1234567654321×(1+2+……+6+7+6+……+2+1)是多少的平方?
练习一:1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方?
练习二:A2=1008×B,其中A,B都是自然数,B的最小值是()。
【例三】36、49、60、64、72的约数各有多少个?约数个数是奇数的数有什么特征?
一讲一练:360、3969、7744各有多少个约数?
【例四】(01ABC)少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十
分有趣。这200个灯泡按1到200编号,它们的亮暗规则是:
第一秒,全部灯泡变亮;
第二秒,凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态;
第三秒,凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗,改变原来的亮暗状态;
第四秒,凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮,改变原来的亮暗状态;
第五秒,凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮,改变原来的亮暗状态;
一般地,第n秒,凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态;
那么第200秒时,明亮的灯泡有()个。
练习一:1~2012中含有奇数个约数的数共有多少个?
练习二:从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个?
【例五】从1到1998的所有自然数中,有多少个数乘以72后是完全平方数?
一讲一练:自然数1~2012中,多少个数乘以12后得到一个完全平方数?
课后作业:
1、公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数:
····
···
····……
·····
·
······
···
····
他们发现:
1=1,1+3=22=4,1+3+5=32=9,1+3+5+7=42=16……
那么第100个图有个点,第n个图有个点。
也就是说:从1开始的连续n个奇数的和,等于。
2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数:1、3、5、7、9……,擦掉其中一个奇数
后,剩下的奇数之和为1998。那么擦掉的奇数是多少?
3、一个数与2940的积是完全平方数,那么这个数最小是多少?
4、祖孙三人,孙子和爷爷的年龄的乘积是1512,而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之
积是完全平方数,则父亲的年龄是多少岁?
5、求下面各数的约数个数:45、112、225、660。
6、200名同学面向教官,他们依次从1开始报数,直到200。第一次他们都向后转,
第二次报数是2的倍数的同学转回来,第三次报数是3的倍数的同学往后转,第四次报数
是4的同学往后转……不断下去,直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。问:这
时面向教官的同学有多少个?
7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个?
8、1~100中的一个数乘以6后,乘积是一个完全平方数,这个数最大是多少?
9、求一个能被180整除的最小完全平方数。
10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数,这样的三位数有多少个?
11、已知一个自然数n满足:12!(即1×2×3×4×……×12)除以n后,商是一个
完全平方数,则n的最小值是多少?
大于100小于10000的完全平方数开平方也能用心算
2008-11-17
湖北省宜昌市第十八中学:谢玉林
大于100小于10000的完全平方数开平方用心算,正确率达100﹪。现介绍其方法如
下:首先要记住或会心算这几个乘法:15×15=225,25×25=625,35×35=1225,45
×45=2025,55×55=3025,65×65=4225,75×75=5625,85×85=7225,95×95=9025。
上面这组计算经观察可发现:相乘结果最后两位都是25,25前面的数字是由乘数的十位
数字乘以十位上的数字加1得出。如:85×85=7225中的72是由8×9得出的。又如65
×65=4225中的42是由6×7得出的。现在我们来研究大于100小于10000的完全平方
数的开平方:
例1:求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57,76;考查57,因为7
的平方=49<57<64=8的平方。所以5776的算术平方根的十位上的数字是7。又因
为5776>5625=75×75,且个位是6,而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的
平方,所以5776的算术平方根的个位上的数字是6;所以5776的算术平方根是76。
例2:求6724的算术平方根解:①分节:67,24②观察67在那两个平方数之间64<
67<81③取小定十位:十位上的数字是8④与85的平方=7225比较定个位:∵6724
<7225且个位是4,而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方∴6724的算术
平方根个位上的数字是2所以6724的算术平方根是82例3:求1369的算术平方根解:①
分节:13,69②观察取小:∵9<13<16,∴3是十位上的数字③与35的平方1225比较
定个位:∵1369>1225,且个位数是9在5至9之间的平方数个位是9的只有7,∴1369
的算术平方根个位上的数字是7;所以1369的算术平方根是37。