第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量.ppt

线性代数
Linear Algebra
第 6 章矩阵的相似特征值和特征向量
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第 6 章矩阵的相似特征值和特征向量
在第3章中, 利用矩阵的初等变换, 引入了矩阵等价
的概念及等价标准形(等价类中最简单的代表), 秩为矩
阵等价下的不变量. 以此处理某些矩阵问题行之有效.
方阵的特征值、特征向量是方阵的一个重要属性(如
同秩) . 是线性代数理论中的重要内容, 且在数学(如解
微分方程组、矩阵级数的收敛性、层次分析法etc .)及
工程技术中中有着广泛应用.
本章将介绍一种新的矩阵变换(相似变换),研究
矩阵相似对角化的条件,在矩阵相似下,秩不变且特
征值不变.
本章介绍的内容仅对方阵而言
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Definition
特征值与特征向量的概念
§2 特征值和特征向量
设 A 是 n 阶方阵,如果数和 n 维非
零向量 x 使关系式(1)
成立,则称为 A 的特征值,非零向量 x 称为 A 的
对应于特征值的特征向量.
第 6 章矩阵的相似特征值和特征向量
Theorem
如果 x1,x2 都是 A 的属于特征值的
特征向量,则也是A 的属于特征值的特
征向量。(其中 k1,k2 是任意常数, )
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§2 特征值和特征向量
说明特征向量不是被特征值所唯一确定,相反,特
征值却是被特征向量所唯一确定。
一个特征向量只能属于一个特征值
若非零向量 x 是属于两个特征值的特征向量,
则有
即
于是
又因为所以.
A 的属于特征值的全体特征向
量,构成向量空间吗?
不!因为不含零向量。
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特征值与特征向量的求法
由(1) 可得(2)
显然,(2)有非零解的充要条件是
即
称一元 n 次方程为 A 的特征方程;
称为方阵 A 的特征多项式;称(2)
为特征方程组.
求特征值与特征向量即为求的根与的解
(1)、(2)式都很重
要,一般证明用(1),
计算用(2)
第 6 章矩阵的相似特征值和特征向量
说明满足
的是 A 的特征值.
反之也然.
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Example 1
求的特征值与特征向量.
Solution :
特征值是
当解方程组
即
解得基础解系
A 对应于全部特征向量为
(k1,k2 是不同时为零的任意常数)
当, 解方程组
解得基础解系
A 对应于全部特征向量为
(k3 是不为零的任意常数)
未必有两个
§2 特征值和特征向量
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特征值与特征向量的性质
Theorem
设 A 是 n 阶方阵,则 AT 与 A 有相同
的特征值.
Proof
Theorem
设 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个特征值为
,则
其中是 A 的主对角元之和,称为
方阵 A 的迹,记作 tr(A)
Proof
Corollary
n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是它的任
一特征值不等于零.
根与系数
的关系
Go on
,则一定是 A 的特征值
特征向量
未必相同
第 6 章矩阵的相似特征值和特征向量
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Proof :
Theorem 的证明
有相同的特征多项式,故有相同的特征值
§2 特征值和特征向量
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Theorem 的证明
Proof :
又因为是 A 的全部特征值,故
比较得
第 6 章矩阵的相似特征值和特征向量
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Theorem
设是方阵 A 的特征值,x 是 A 的
属于的特征向量,则
(1)k 是 kA 的特征值(k 是任意常数);
(2) 是 Al 的特征值(l 是正整数);
(3) 是
的特征值(m 是正整数);
(4) 当 A 可逆时, 是 A-1 的特征值。
且 x 仍是矩阵 kA, Al, ,A-1 的分别属于特
征值, , , 的特征向量。
Proof
Proof
Note : 为 A,B 的特征值未必
是 A+B,AB 的特征值。(特征向量不同)
Go on
§2 特征值和特征向量
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