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d3z1单因素方差分析.doc


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d3z1单因素方差分析
第3章方差分析
第3章方差分析
两类变量: 定量变量连续取值, 计数取值;
定性变量性质标记, 称为因素
方差分析: 因素取不同状态时, 对因变量的影响.
§ 单因素方差分析
因素的水平: 因素的不同状态;
因素A的a个水平: A1,A2, ,Aa, 等等.
例如某农作物产量Y, 作物品种A, 化肥品种B, A1,A2,A3; B1,B2,B3,B4
共 32 页
第3章方差分析
主要思想为显著性检验, 即 Y的总变化量=因素各水平+随机误差影响
1. 单因素方差分析模型
设所关心变量为Y,影响Y的因素为A,有a个水平, 假设如下表: (各样本独立, 同方差)
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第3章方差分析
令εij=yij-μi,j=1~ni, i=1~a 则有(相当于a个回归模型)
?yij=μi+εij,j=1~ni,i=1~a(), ?2ε~N(0,σ),且诸ε相互独立ij?ij
n
称 n=
μ=∑ni=1i为总容量; 为总平均; nμ∑ni
i=11ni
δi=μi-μ,i=1~a为水平Ai的效应(影响度)
共 32 页
第3章方差分析
a
且满足∑niδi=0, 最后归结为
i=1
yij=μ+δi+εij,j=1~ni,i=1~aεij~N(0,σ),且诸εij相互独立a2()
∑nδi
i=1i=0
2. 因素效应的显著性检验对于单因素,
目标之一: 该因素各水平对Y取值有无显著差异. 即检验如下假设
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第3章方差分析
H0:μ1=μ2= =μa?
H1:μi(i=1~a)不全相等()
等价地, 对模型(), 检验假设 H0:δ1=δ2= =δa=0?
H1:至少有某个δi≠0()

i =1nini∑εj=1ij, 则i N(0,σ2ni),i=1~a
共 32 页
第3章方差分析
=
ε∑∑n
i=1j=1
ni
1
ani
ij
=
n∑n
i
i=1ni
1
a
i
, 则 N(0,
σ
2
n
),
i ==
1
1ni
a
∑y
j=1ni
即ij
=
1ni=
∑(μ+δ
j=1
i
+εij)=μ+δi+i ,
y∑∑n
i=1j=1
ij
n∑n
i=1
1
a
i
i , 则=μ+
数据的总变化量
总平方和:
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第3章方差分析
分解为
a
ni
展开交叉项=0)
a
ni
2
2
基本分析
1) yij-i ≈yij-μi=εij,
2) SSA随1 ,2 , ,a ≈μ1,μ2, ,μa差异小而小
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第3章方差分析
SSE,SSA的统计性质令s=2
i1niniij(y∑-1j=1-i ), 则E(si)=σ, 从而
a
2
i222aE(SSE)=∑E((n
i=1i-1)s)=
2∑(ni=1i2-1)σ=(n-a)σ,
无论H0成立否,
另一面, 因 SSEn-a是σ的一个无偏估计. 2
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第3章方差分析
a
SSA=
=
∑n(μ+δ
i
i=1a
a
2ii
i
2
+i -μ-)
a
i
i
∑nδ
i=1
+
2
∑n(i=1
a
-)+2∑niδi(i -)
i=1
2
2
=(a-1)σ+
∑nδ
i
i=12
i
a
2ii
?SSA?
所以E ?=σ
?a-1?
+
nδ∑a-1
i=1
1
,
从而可知
共 32 页
第3章方差分析
当H0:δi=0,i=1~a为真, SSAa-1是σ2无偏估计. 否则, 有偏大趋势, 构造统计量
当H0为真, 则F应在1波动, 否则趋大.
因为
ni-11ni
σ2s=2iσ2∑(y
j=1ij-i )~χ(ni-1) 22
(i=1~a)
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第3章方差分析
又由各总体样本的相互独立性、χ2的可加性, 得 SSEa
σ2=∑
i=1ni-1σ2??2s~χ∑(ni-1)?=χ(n-a)
?i=1?2i2
2a另有(参见[4])
故当H0真,
SSAσ=~χ(n

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