双星模型、三星模型、四星模型专练.docx

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双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星藏中两颗恒星的运动特
征可推算出它们的总质■已知某双星系统中两颗恒星
绕它们醉上
的某一固定点分别做匀速IBI周运动,■(弓I力常童为G)
神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种耨天体>探寻釉I的
方舷一顽测的甌规律•赵学颐测河外哲伦
云时,发现了LMCX3双星系统f它由可见星A和不可见的暗星B构
K>两星视为质点,不考虑其他天体的影l・
点做匀速BI周运动启们之间的距离彩不变,如園4-2所示•引力常・.
⑴可见鼻AHfgggsB的引力Fa可等效为位于0点处质■为nf的星
a
().
(2)求暗星B的质量叫与可见星A的速率%运行周期T和质■叫之间的⑶恒星演化到末期f如果其质童大于太阳质・叫的2倍■它将有可能成为黑II•若可见星A的速率v=2・7x105m/s运行周期T=
s,质・叫=6叫■过估算来判斷暗星B有可1躍袖吗?
(G=-hN«m2/kg2,m=)
s
天体运动中,将两颗彼此相距较近的行星称为双星f它们在万有引
力作用下间距瞬瞬不变,并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动■设双星间距为L■质■分别为Mr叫■试计算(1)双星的彌半径(2)双鼻运动的周期。
5、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质■相等的三颗星组成的三
星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用•已观测到稳定的三
4、如右图,质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕
星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两
0点做匀速周运动星球A和B两者中心之间距离为L。
颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三
已知A、B的中心和0三点始终共线,A和B分别在
0的两侧。弓|力常数为G。
求两星球做圆周运动的周期。
颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形
轨道运行•设每个星体的质量均为m.
⑴试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
⑵在地月系统中,若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球
⑵假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距
离应为多少?
看成上述星球A和B■月球绕其轨道中心运行为的周期记为但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5・
6、宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统,四星系统离其他
1022kg。求T2与―两者平方之比。(结果保留3位小数)
恒星较远,通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用•已观测到稳定的
星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为
a的正方形的四个顶点上■均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,
其运动周期为厂;另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的
恒星质量M与外侧恒星质量m的比值M。
三个项点上■并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行■其运动周期为】,
答案
,星体运动的周
7、宇宙中存在一些离其它恒星很远的四颗恒星组成的四星系统,通常
可忽略其它星体对它们的引力作用,稳定的四星系统存在多种形式,其
中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正
方形的圆形轨道做匀速圆周运动;另一种四颗恒星始终位于同一直线
1、解、设两颗恒星的质量分别为m】、叫,做圆周运动的半径分别为
4、比,角速度分别为叫、32。根据题意有
上,均围绕中点O做匀速圆周运动•已知万有弓优常量为G,求:
3=3
12
(1)已知第一种形式中的每颗恒星质量均为血■正方形边长为L,求其
中一颗恒星受到的合力;
r+r=r
12
根据万有引力定律和牛顿定律,有
(2)已知第二种形式中的两外侧恒星质量均为m、两内侧恒星质量均
Gmm
—i—2=mw2rr2iii
为M,四颗恒星始终位于同一直线,且相邻恒星之间距离相等■求内侧
联立以上各式解得
mr
r=2
1m+m
12
根据解速度与周期的关系知
2兀
①=①=一
12T
联立③⑤⑥式解得
2、解析:设A、B的圆轨道半径分别为心占,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,设其为讥由牛顿
律,有f=mo2r,F=mo2r,F=F
A11B22AB
设A、B间距离为厂,则r=r+r
12
由以上各式解得r=竺±竺r
m12
由万有引力定律,有f=G沁,代入得F=Gm1m23
Ar2A(m+m)2r2
121
(2)由牛顿第二定律,有Gm1m2=m
r2
而可见星A的轨道半径r=VL
12兀
将“代入上式解得mJ=vjT
(m+m)22兀G
12
(3)将m=6m代入上式得
1s(6m+m)22兀G
s2
代入数据得2=
(6m+m2)2s
s
设
=nm(n>0),将其代入上式得
2s
m
24—
(6m+m}
s2
nm
/6
(+I)2
n

可见,
(6m+m)2
s2
n
m(6+1)2n
mn
24=m=
(6ms+m2}(6+1)2ss
n
的值随总的增大而增大,试令n=2,得
=<
ss
可见,若使以上等式成立,则冲必大于2,即暗星B的质量m必大
s
于2m,由此可得出结论:暗星B有可能是黑洞。
s
.3、解析:双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动,即:
令F=G^X,通过比较得m,=—
Ar2(m+m)2
112
MM
G—i—2=M①2L=M①2L
L21122
化简得
••L+L=L
12
②由以上两式可得:L=M2
1M+M
12
T2=2GM
两种周期的平方比值
③得:T=2L2(M|+M)
Tm+M
(~2)2=
TM
1
5、解析⑴对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象根据
598X1°24+735X1°22=

牛顿第二定律和万有引力定律有:
F=Gm2Gm2
1百J硕
F1+F2=mv2/R
4、(i)A和B绕0做匀速圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,
则A和B的向心力相等。且A和B和0始终共线,说明A和B有相
/■L\
同的角速度和周期。因此有
mW2r=Mw2R,r+R=L,连立解得R=_^L,r=^Lm+Mm+M
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得GM2=m2)2
L2TM+m
化®得T=2「
G(M+m)
⑵将地月看成双星,由⑴得t=2^L3
1\G(M+m)
将月球看作绕地心做圆周运动,根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm=m(王)2L
L2T

运动星体的线速度:v
2R
周期为T则有T=2n
T=4n'R3
5Gm
⑵设第二种形式星体之间的距离为rj则三个星体做圆周运动的半径「
为
R"=r/2
cos30°
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引优的
4
2
合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有:
4
2
合=2
Gm2COS30°
r2
7、解:(1)对其中任意一颗恒星,它受到的合力为
mm-Gm2(2迈+1)
四颗星总位于同一直线,即四颗
Fjm4nnR"
合T2
所以r=(12)3R
*
6、对三绕一模式,三颗绕行星轨道半径均为a,所受合力等于向心力,
因此有
m2m24兀2①
2-Gcos30°+G=ma①
&3a)2a2T2
解得T2=20吕a3②
1Gm
F-Gmm+迈G
合(話2L)2L2L
(2)设相邻两颗恒行间距为a,恒星运动的角速度o相同,由万有引力定律和牛顿第二定律,对内侧星M有
gmm+G如-GMm-Mo2a
a2(2a)2a22
对外侧星m有
GMm+G如+G上m-mo2竺解得M:m-85:63
a2(2a)2(3a)22
4
2
4
2
对正方形模式,
星的轨道半径均为連a,同理有
2
4
2
4
2
m24n2€2
=ma
T22
2
m2
2-Gcos45°+G-
a2(2a)2
解得T2=4(45兀2a3④
27Gm
4
2
故T="4-J2)(3r:3)
4
2