无穷小无穷大极限运算法则.pptx

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.
,以零为极限的变量,称为在此变化程中的无穷小量,简称无穷小。
例:
在n→∞时是无穷小量
∴变量
在x→1时是无穷小
∴变量
在x→+∞时是无穷小量
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性质1.
性质2.(简表为)
0±0→0
00→0
可推广到
有限个情况
0+0+0+…→0
000…→0
.
N(x)
0→0
C
0→0
特别
例如
=0
0
(0-0→0)
=0
N(x)是有界量
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,。
记作
(含+∞,-∞,這两种情况变量的绝对值均会无限增大)
但为了方便起见也说在此过程中函数的极限为无穷大
y
0
x
1
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当X→0时,变量2X,5X,
都是无穷小量,但它们趋于零的
速度不同,
趋于零的速度比2x,5x趋于零的速度快得多!
看下表
X1,,,,…
2x2,,,…
5x5,,,,…
1,,,,…
为了比较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以
下几个概念:设
是同一过程的无穷小量
1.
若
称
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⑵当x→3时
解:
∵
6
∴当x→3时
是同阶无穷小
⑶当x→0时
解:
∵
1
∴当x→0时
是等价无穷小
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定理设函数
在自变量x的同一变化过程中都
有极限:
lim
=A,
lim
=B
则有
⑴
⑵
推论1
推论2
⑶
(其中lim
)
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解原式=
暂时不能用商的极限法则(为什么?)

也暂时不能用商的极限法则,为什么?
解原式=
而
0
∴原式=∞
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,如果
是无穷大量,那么
是无穷小量;即若
若
且
则
是同一过程的无穷大量;即
是无穷小量
简记为:无穷小和无穷大互为倒数
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2.
若
称
3.
若
称
特别当c=1时即当
时称
例试比较下例无穷小量的阶
⑴当x→0时,
解:
∵
0
∴当x→0时
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