极坐标与极坐标方程.pdf

该【极坐标与极坐标方程 】是由【baba】上传分享，文档一共【10】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【极坐标与极坐标方程 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。极坐标及极坐标方程的应用

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》,
大约于1671年写成,出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用,例如按方程
描出曲线,书中创见之一,是引进新的坐标系。
在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章,
是极坐标的发现者。
普遍可用,而且自由地应用极坐标去研究曲线。
在平面内建立直角坐标系,是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法,
但它并不是确定点的位置的唯一方法。有些复杂的曲线用直角坐标表示,形式极其
复杂,但用极坐标表示,就变得十分简单且便于处理,在此基础上解决平面解析几
何问题也变的极其简单。通过探究极坐标在平面解析几何中的广泛应用,使我们能
够清楚的认识到,用极坐标来解决某些平面解析几何问题和某些高等数学问题比用
直角坐标具有很大的优越性,故本文对其进行了初步探讨。
国内外研究动态,不仅在数学理论方面,很多学者对极坐标以及极坐标方程做
了深入探究,而且在如物理、电子、军事等领域,很多学者对极坐标也有较深的研
究。由此看来,极坐标已应用到各个领域。
极坐标系的建立
在平面内取一个定点O,叫作极点,引一条射线OX,叫做极轴,再选定一个长
度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点M,用表示线段OM的长度,表示从OX到OM的角度,
叫点M的极径,叫点M的极角,有序数对,就叫点M的极坐标。这样建立
的坐标系叫极坐标系,记作M,.若点M在极点,则其极坐标为=0,可以
取任意值。
图1-1图1-2
如图1-2,此时点M的极坐标可以有两种表示方法:
(1)>0,M,
(2)>0,M,
同理,,与,也是同一个点的坐标。
又由于一个角加2nnZ后都是和原角终边相同的角,所以一个点的极坐标
不唯一。但若限定0,02或,那么除极点外,平面内的点和极
坐标就可以一一对应了。
曲线的极坐标方程
在极坐标系中,曲线可以用含有,这两个变数的方程,0来表示,这
种方程叫曲线的极坐标方程。
求曲线的极坐标方程的方法与步骤:
1°建立适当的极坐标系,并设动点M的坐标为,;
2°写出适合条件的点M的集合;
3°列方程,0;
4°化简所得方程;
5°证明得到的方程就是所求曲线的方程。
三种圆锥曲线统一的极坐标方程:
图1-3
过点F作准线L的垂线,垂足为K,以焦点F为极点,FK的反向延长线FX为
极轴,建立极坐标系。设M,是曲线上任意一点,连结MF,作MA⊥L,MB⊥
MF
FX,垂足分别为A,Me.
MA
设焦点F到准线L的距离FKP,由MF,MABKPCOS

得e
pcos
ep
即
1ecos
这就是椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程。其中当0e1时,方程表
示椭圆,定点F是它的左焦点,定直线L是它的左准线。e1时,方程表示开口向
右的抛物线。e1时,方程只表示双曲线右支,定点F是它的右焦点,定直线L是
它的右准线。若允许0,方程就表示整个双曲线。
极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,X轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取
相同的长度单位,设M是平面内任意一点,其直角坐标x,y,极坐标是,,
从点M作
MN⊥OX,由三角函数定义,得xcos,ysin.
图1-4
y
进一步有2x2y2,tgx0
x
注:在一般情况下,由tg确定角时,可根据点M所在的象限取最小角。
2极坐标在平面解析几何中的应用
极坐标法求到定点的线段长度
解析几何中涉及到某定点的线段长度时,可以考虑利用极坐标法求解。但是绝
大多数解析几何问题中题设条件是以直角坐标方程形式给出的,在求解过程中运算
繁琐复杂,将此类问题转化为用极坐标方程求解,十分简洁,收到良好的效果。巧
设极点,建立极坐标系是解决问题的关键。

如果题设条件与结论中,涉及到过某定点M的线段长度问题,应该取该点为极
点,先将直角坐标原点移动到M点,施行平移公式、直角坐标与极坐标互化公式,
化普通方程为极坐标方程求解。
例1设等腰OAB的顶角为2,高为h,在OAB内有一动点p,到三边
OA、OBOC的距离分别为PD、PF、PE,并且满足关系PDPFPE2,求P点的
轨迹。
图2-1
解:如图2-1所示,以O为极点,∠AOB的平分线为极轴,建立极坐标系,设P点
极坐标为p,,则
由PDPFPE2得
化简得
化成直角坐标方程为
hhsin
这是以,0为圆心,以为半径的圆,所求的轨迹是该圆在等腰
cos2cos2
OAB内部的部分。

如果题设条件或结论中涉及到直角坐标系原点的线段长度时,应选取原点为极
点,应用互化公式,将直角坐标方程转化极坐标方程求解。
x2y2xy
例2已知椭圆1,直线L:1,P是L上一点,射线OP交椭圆于
2416128
R,又点Q在OP上,且满足OQOPOR2,当点P在L上移动时,求点Q的轨迹
方程,并说明轨迹是什么曲线。
解:如图2-2所示,以O为极点,OX为极轴,建立极坐标系。则由互化公式
知椭圆的极坐标方程为
22cos23sin248
(1)
直线L的极坐标方程为
2cos3sin24
(2)
设Q,、R,、P,,则由(1)式知
12
由(2)式知
又2,有
21
所以2x23y24x4y0
x12y12
即1x,y不同时为0
55
23
25
点Q的轨迹是以1,1为中心,长轴、短轴分别为10,且长轴平行与X轴的
3
椭圆,去掉坐标原点。
图2-2

凡涉及圆锥曲线的焦半径或焦点弦长度的问题,应选取焦点为极点(椭圆左焦
点,双曲线右焦点),应用圆锥曲线统一的极坐标方程求解。
例3设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦。已知OFa,PQb
求OPQ的面积。
图2-3
解:如图2-3所示,以F为极点,FO的反向延长线FX为极轴,建立极坐标系。
则抛物线的极坐标方程为
4a
于是sin2
b
极坐标简解与角有关的解析几何题
含有已知角或公共顶点的一类解析几何题,运用极坐标系(或化直角坐标系为
极坐标系)进行解题,常可避繁就简,化难为易,达到事半功倍的效果。下面分类
举例说明。
,角顶点为极点

例4已知P,Q在∠AOB的两边OA,OB上,∠AOB=,POQ的面积为8,
3
求PQ的中点M的轨迹方程。
图2-4
解:以O为极点,OB为极轴,建立极坐标系,如图2-4所示,设

P,0,Q,,
123
M,,则
3
即8
412
(1)
1
因为SSS
POMQOM2POQ
1
所以sin4
21
(2)
1
sin()4
213
(3)
23得
1
2sinsin()16
4123
(4)

(1)代入(4)并化简,得2sinsin()23即为所求。
3
,坐标轴平移,化角顶点为极点
例5已知曲线G:y1x2,顶点A(2,0),点B是G上的动点,ABC是
以BC为斜边的等腰直角三角形,顶点A、B、C按顺时针排列,O为坐标原点,求OC
的最大值及点C的坐标。
图2-5
解:曲线G化为:x2y21y0,以点A为新坐标系原点,则
曲线G为(x'2)2y'21y'0
以点A为极点,x'轴的正方向为极轴,建立极坐标系。如图2-5所示,则曲线G为
(cos2)2sin21
(1)
设B,C(','),则
0,0
{'
0
'
02
(2)
(2)代入(1)得
即'sin'22'cos'21
所以点C的轨迹方程为
即x22y221x2
(3)
故当OC过(3)的圆心2,2时,OC的最大值为122,此时点C的坐标为
22
1,1.

22
极坐标法证明几何定理
在平面几何证明中,极坐标法是一种重要的方法,应用十分广泛,下面以部分
平面几何中着名定理为例,谈谈极坐标法在证明中的应用。
(a,0),半径是a的圆的方程2acos来证明
例6求证:圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积(托列迷定
理)。
证明:如图2-6,以D为极点,DO的延长线为极轴建立极坐标系。设圆的半径
为a,则O:2acos.
A(,)、B(,)、C(,)三点都在O上,
112233
另由正弦定理得
图2-6
,圆心为a,的方程2acos证明
00
例7自圆上一点引三弦,并以它们各自为直径画圆。
求证:所画三圆的其它三交点共线(沙尔孟salmon定理)。
图2-7
证明:如图2-7,OA、OA、OA、OA分别是C、C、C、C的直径,P、P、P
123123123
分别是C与C、C与C、C与C的交点,以O为极点,OA的延长线为极轴
122331
建立极坐标系,为简便计,设OA1,极轴与OA、OA、OA的交角分别为、、,
123123
则
所以
C:coscos
111
(1)
C:coscos
222
(2)
C:coscos
333
(3)
设p,,则由(1)、(2)得
111
取k0,得,代入(1)中,得coscos.
1212
p点坐标为(coscos,).同理应用轮换得p点坐标为(coscos,),
1121222323
p点坐标为(coscos,).
33131
显然P、P、P三点坐标满足法线式方程
123
故P、P、P三点共线,命题获证。
123
、两点或直线方程和法线式方程证明
例8求证:三角形外接圆上任一点在三边上的射影共线(西摩松Sinson定理)。
图2-8
证明:如图2-8,以P为极点,PO的延长线为极轴建立坐标系。设AAA的外
123
接圆直径为d,则O的方程为dcos,设顶点为
Adcos,i1,2,30,2
iiii
sinsinsin
AA的两点式方程为2121.
12dcosdcos
12
这是AA的法线式方程,故知垂足B的坐标为(dcoscos,).轮换三个顶
1211212
点的坐标,得B(dcoscos,)、B(dcoscos,),显然B、B、B三点的
2232333131123
坐标满足法线式方程
B、B、B三点共线,定理得证。
123