五年级下册数学知识总结思维导图-五下数学思维导图总复习[借鉴].doc

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(数学)
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第一单元图形的变换 1
第二单元因数与倍数 3
第三单元长方体和正方体 8
第四单元分数的意义和性质 14
第五单元分数的加法和减法(简略,具体详见另文“分数加减法常见题型解析”) 24
第六单元统计 25
第七单元数学广角 27
第一单元图形的变换
图形的变换:本单元所说的“图形的变换”包括图形的平移、对称和旋转三种。
对应点:图形中的某一点通过变换后形成的新的点,叫做这点的对应点。如三角形ABC关于直线a的对称图形是三角形A’B’C’,其中A点的对应点是A’,以此类推。
轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后左右两侧能够完全重合,那么这个图形就是轴对称图形。这条直线就是这个轴对称图形的一条对称轴。
常见轴对称图形及其对称轴的数量:
常见的对称图形有:正方形(4条),长方形(2条),等腰三角形(1条),等边三角形(3条),正五边形和五角星(5条),圆形(无数条)。
汉字、字母及其他常见图形中的轴对称图形:
除了我们所学过的规则的多边形外,还有许多图形也是轴对称图形,如某些汉字、字母和特殊的图形。注意它们的对称轴也可以是横着的或是倾斜的,但只要满足轴对称图形的条件,就是轴对称图形。
轴对称图形的特征:轴对称图形中,对应点到对称轴的距离相等。也就是说,一对对应点(如A和A’)到对称轴所作的垂直线段的长度是相等的。
作对称图形的方法:我们可以利用轴对称图形的特征来作一个图形的对称图形。如要作四边形ABCD关于直线a的对称图形,步骤如下:
(1)选取关键点
因为“两点可以确定一条直线”,四边形ABCD只需要四个顶点就能确定,所以选择四个顶点ABCD作为作图的关键点。
一般来说,多边形的关键点是其顶点,其他图形的关键点是线段的交点。
(2)作关键点关于对称轴的对称点(对应点)
因为对称图形A’B’C’D’中四对对应点到对称轴(直线a)的距离都分别相等,可以分别作ABCD四点到直线a的垂线段,再分别延长一倍,得到的点就是ABCD的对应点A’B’C’D’。
(3)连结相应的对应点
对照原图形中的关键点,将对称图形中的对应点分别连结,形成对称图形四边形A’B’C’D’。
旋转:一个物体绕着某一点或轴运动的方式叫做旋转。如钟面中,时针、分针、秒针都绕着同一个中心旋转;又如风车、电风扇的叶片绕着中心轴旋转。
钟面指针旋转问题:钟面被平均分为12个点钟,因此每两个点钟之间的角度是360°÷12=30°。如指针(时针、分针或秒针)从3点绕钟面中心O点顺时针旋转60°到5点,从5点绕O点顺时针旋转120°到9点。
而逆时针旋转和顺时针旋转类似,同一结果如方法不同那么角度相加得360°,如顺时针旋转90°相当于逆时针旋转270°,逆时针旋转150°相当于顺时针旋转210°
结合相应的钟面时间,可以考察不同指针的变化。如从4:30到5:30,时针绕O点顺时针旋转了30°,分针绕O点顺时针旋转了360°。
作旋转图形的方法:要作一个图形关于某点(旋转中心)旋转一定角度后的图形,相当于有若干个指向每个关键点的指针同时进行旋转后的结果。如要作四边形ABCD绕着O点顺时针旋转90°后的图形,则作图步骤如下:
(1)选取关键点
因为“两点可以确定一条直线”,四边形ABCD只需要四个顶点就能确定,所以选择四个顶点ABCD作为作图的关键点。
一般来说,多边形的关键点是其顶点,其他图形的关键点是线段的交点。
(2)连结关键点和对称中心,形成“指针”,旋转后确定各关键点的对应点
因为旋转前后图形中四个关键点到对称中心的距离都不变,可以分别连结ABCD四点和对称中心,再分别绕O点进行旋转,得到的点就是ABCD的对应点A’B’C’D’。注意,需要选择其中一个“指针”形成的夹角,标上角度,以表示整个图形的旋转角度。
(3)连结相应的对应点
对照原图形中的关键点,将对称图形中的对应点分别连结,形成对称图形四边形A’B’C’D’。
旋转“元件“与旋转角度
利用旋转可以作出许多美丽的图形。由基本图形“元件”通过旋转形成中心对称图形时,要注意旋转角度的确定(转的角度=360°÷单元件个数)和旋转“元件”的多样性。
如紫荆花,有5个花瓣,旋转角度是360°÷5=72°,既可以看成是由一个花瓣旋转而成的,也可以看成是、、甚至是旋转而成的。旋转角度和次数可以是72°转5次,也可以是144°、216°、288°甚至是360°转4、3、2次,等等。
再如,既可以看成是由旋转360°÷8=45°或135°、225°、315°等,也可以看成是绕着图形中心旋转45°或其倍数若干次形成的。元件不止一种。
轴对称与剪纸
剪纸技巧中常运用对折的手法剪出轴对称图形,我们也可以根据折痕(对称轴)的先后次序推导出裁剪前图形与展开后图形的联系。例题,课本P9第5题:
答案就是第一行中间的那个。其它的怎样剪成?自己尝试吧!
设计镶嵌图案
参考课本P11,可以利用可平铺图形进行改造,设计出其它也可以平铺的不规则图形。
原理:拆东补西,在有限范围内肯定不能铺满,但在数学理想的无限状态下可以“平铺”。
第二单元因数与倍数
因数与倍数
“因数”与“倍数”是一对相互的概念,是在整数乘法或除法算式中两个整数之间的关系。注意:为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数指的是整数(一般不包括0)。
例如:2×6=12,我们就可以说,12是2和6的倍数,2和6是12的因数。
24÷3=8,我们就可以说,24是3和8的倍数,3和8是24的因数。
概念辨析及要点:
倍数与“倍”
倍数是与因数相对应的概念,是在整数乘法算式中才有的概念,而“倍”是乘法算式当中的概念,只要有乘法算式,积就是其中一个因数的若干“倍”(另一个因数一般要大于等于1)。
例如:×5=16,,,!
0是任何数的倍数吗?
因为0乘以任何数(包括0本身)都得0,那么是否可以说0是任何整数的倍数呢?上面已经说到了,为了方便研究,简化问题,在研究因数和倍数问题的时候,一般不包括0,也就是说,这时候0已经被排除在外,不考虑了。类似“除数不能是0”的情况。
一个数的因数
一个数的因数中,最小的是1,最大的是它本身,因为1乘以任何数本身等于它本身。
因此,一个数的因数的个数是有限的。
一个数的因数的求法:以18为例
乘法算式法:将一个数写成两个整数相乘的形式。
18=1×18,18=2×9,18=3×6,因此18的因数有1,2,3,6,9,18这6个。
分解质因数法(详见后面“分解质因数”说明):18=2×3×3
因此,18=2×(3×3)=2×9
18=3×(2×3)=3×6
将18的所有质因数及它们的积的形式从小到大排列,就能求出所有的因数了。当然,1和18本身也是18的因数,不要忘记掉。
方法比较:乘法算式法比较容易理解,分解因数法掌握后求因数比较全面,各有千秋,关键都是要对数字比较了解,培养数感。这需要一定的练习。
一个数的因数的表示方法:
集合圈(韦恩图)
将所有因数写在一个椭圆形或圆形的集合圈内。
集合
用大括号的形式列出所有因数。如18的因数={1,2,3,6,9,18}
简记(常用于草稿)
用一条横线将相乘积是18的两个数分开,简单记录。如
注意:如36、49、81等平方数,由于它们可以由两个相同的数相乘得来,因此它们的因数不是一对一对出现的(因数个数是奇数)。
平方数:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,…
一个数的倍数
一个数的倍数中,最小的是它本身(即它的1倍),没有最大的倍数。
因此,一个数的倍数的个数是无限的。
一个数的倍数的求法:以12为例
将12分别乘以除0以外的自然数1,2,3,…可以得到12的倍数
12×1=12,12×2=24,12×3=36,…,因此12的倍数有12,24,36,48,…
一个数的倍数的表示方法:
集合圈(韦恩图)
将所有因数写在一个椭圆形或圆形的集合圈内。
集合
用大括号的形式列出所有倍数。如12的倍数={12,24,36,…}
注意:在一个数的所有倍数中,最小的是它本身,没有最大的倍数,因此表示一个数的倍数时,一般都要用小省略号“…”表示个数是无限的(除非说明了所要求的倍数的范围)。
附:“倍数的范围”
因为一个数的倍数的个数是无限的,所以在求一个数的倍数时,常会要求写出这个数在一定范围内的倍数即可。如24的倍数(100以内)是24,48,72,96。请比较下列两题,体会“以内”和“包含”的用法
50以内10的倍数有:10、20、30、40
50以内(含50)10的倍数有:10、20、30、40、50
因数与倍数的关系
(1)一个数的最大因数和最小倍数都是它本身
(2)一个数,是它所有因数的倍数
(3)一个数,是它所有倍数的因数
(4)一个数,几个它的倍数的和仍然是它的倍数
(5)“含有因数3”也可以说成“是3的倍数”,还可以说成是“可以被3整除”
(6)一个数,是两个数乘积的倍数,那么它分别是这两个数的倍数(如84是2和3的倍数,那么84也会是2
×3=6的倍数,再如15的倍数肯定也是3和5的倍数)
(7)1是任何非0整数的因数,因数只含有1的数就是1本身
完全数与相亲数
完全数:如果一个非0整数除去它本身之外的所有因数之和正好是它本身,那么这样的数叫做完全数。
如6的因数有1,2,3,6,除去6以外的因数之和1+2+3=6。再如28的因数有1,2,4,7,14,28,除去28以外的因数之和1+2+4+7+14=28。此外还有496、8128等
相亲数:如果有两个非0整数,其中一个数除去它本身之外的所有因数之和正好是另一个数,另一个数除去它本身之外的所有因数之和也正好是第一个数,那么这样的两个数叫做相亲数。
如220和284是最小的一对相亲数。220的因数有1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,220
而1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,而284的因数有1,2,4,71,142,284,而1+2+4+71+142=220。
数字倍数的特征(快速判断方法)
(1)2的倍数
个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍数。如24,308,790都是2的倍数。
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做数。0是自然数中最小的偶数,2是非0自然数中最小的偶数,1是自然书中最小的奇数。因为自然数的个数是无限的,因此没有最大的偶数或奇数。
(2)5的倍数
个位上是0或5的数,是5的倍数。如25,980,7065都是5的倍数。
既是2的倍数,又是5的倍数,这样的数个位上只可能是0。
(3)3的倍数
一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。如12(1+2=3),741(7+4+1=12,1+2=3),3078(3+7+8=18,1+8=9)都是3的倍数。
快速判断方法:因为3、6、9本身都是3的倍数,而任何数加上0还是本身,因此只要计算其他数字的和就可以了,此外2和7、5和4、1和8搭配都是9,也可以不用算。要判断算出的和是否是3的倍数,可以继续用这种方法。如判断94835027是不是3的倍数,9、3、0不看,4、5、2、7不看,得8,不是3的倍数。
既是2和5的倍数,又是3的倍数,就一定是2×3×5=30的倍数,即个位要是0而且能被3整除的数。
(4)9的倍数
一个数各位上的数的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。如27(2+7=9),126(1+2+6=9),8073(8+0+7+3=18,1+8=9)都是9的倍数。
原理证明:设一个两位数十位和个位上的数字是a和b,那么它的数值大小是a×10+b,而a×10+b=9a+a+b,9a一定是9的倍数,只要a+b是9的倍数,那么这个数就是9的倍数了,因此两位数十位和个位数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数。以此类推,请自己证明三位数、四位数等情况。
快速判断方法:因为9本身是9的倍数,而任何数加上0还是本身,因此只要计算其他数字的和就可以了,此外3和6、2和7、5和4、1和8搭配都是9,也可以不用算。要判断算出的和是否是9的倍数,可以继续用这种方法。如判断35**********是不是9的倍数,9、0不看,4和5、2和7、3和6、1和8两两不看,剩下2、8、8加起来是18,18中1+8=9,是9的倍数,所以刚才那个数就是9的倍数。
(5)4的倍数
后两位能被4整除的数,是4的倍数。如224,732,84908等。
快速判断方法:
100÷4=25,因此百位及更高位的数字都不用看,而20÷4=5,因此被20整除的部分也不用看。可以先看后两位数字,然后除以20,剩下的余数再看能否被4整除。如判断289042762是不是4的倍数,直接看后两位62,再除以20,余2,不是4的倍数。
(6)6的倍数
同时是2和3的倍数的数,是6的倍数。如324,6744,75048等
快速判断方法:先看个位是否是偶数,再看是否是3的倍数。
(7)8的倍数
百位上是奇数,后两位加4(或百位上是偶数,后两位)能被8整除的数,是8的倍数。如648,952,3336等
快速判断方法:1000÷8=125,因此千位及更高位的数字都不用看,而200÷8=25,因此被200整除的部分也不用看,又有40÷8=5,因此可以先看后三位数字,然后除以200,剩下的余数再除以40,再看余数能否被8整除。如判断234242784是不是8的倍数,直接看后三位784,再除以200,余184,再除以40,余24,是8的倍数。
也可以先除以2,然后再看得数是否是4的倍数。
(8)7的倍数
7的倍数不好找,不用硬记,可以除以7看能否整除。
(9)其它数的倍数
常考的一般是2、3、5、6、9、10、15等的倍数(同时是2和5的倍数的数就是10的倍数,同时是3和5的倍数的数就是15的倍数),其它的如11、13、17的倍数都不用硬记,可以用与7类似的方法,分别除以这些数看能否整除就可以了。
平时在做计算题的时候留个心眼,看看数字相乘的得数,把一些好玩有趣的记一下(如37×9=333等),有助于培养对数字的感觉,对提高计算能力是有帮助的,有兴趣的同学可以看看我写的两位数乘法口算方法的文章。
偶数与奇数
自然数中,是2的倍数的数叫做偶数(0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。也就是说,非0偶数都含有因数2,奇数都不含有因数2。因此,偶数与奇数有下列性质:
(1)偶数+偶数=偶数偶数+奇数=奇数奇数+奇数=偶数
偶数-偶数=偶数偶数-奇数=奇数奇数-奇数=偶数
口诀:奇偶相加减,同性得偶数,异性得奇数。
(2)偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数
口诀:奇偶相乘,有偶得偶,全奇得奇。
例题:把36个小球放在13个盘子里,至少有一个盘子里放的是偶数,对吗?
解答:利用“反证法”,假设13个盘子里放的都是奇数个小球,那么奇数加奇数得偶数,12个盘子两两相加得偶数,最后一个盘子里放的是奇数,相加肯定也是奇数,不可能是36。因此“把36个小球放在13个盘子里,至少有一个盘子里放的是偶数”这句话是对的!
质数与合数
在非0自然数中,按照因数个数的多少,分为1、质数和合数。(以下所说的数,都是非0自然数,因为谈及“因数”或“倍数”时都必须是非0整数)
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。如2,3,5,7都是质数。
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。如4,6,15,49都是合数。
1既不是质数,也不是合数。
质数与合数相关知识
(1)100以内的质数有:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,
71,73,79,83,89,97。这些数必须记住。
(2)最小的质数是2,既是偶数又是质数(偶质数)的也只有2。
(3)最小的合数是4,既是奇数又是合数(奇合数)的最小的是9,20以内的还有15。
(4)连续的两个数是质数的只有2和3。
(5)20以内的数中,连续三个数是合数的有8,9,10和14,15,16。
(6)20以内的数中,加上2还是质数的质数有3,5,11,17。
分解质因数
分解质因数就是将一个合数分解成若干个质数相乘的形式。如18=2×3×3,每个质数都是这个合数的因数,因此叫做“质因数”。
常用的表示方法:可以用乘法算式法,也可以用连线分解法,我推荐的是“短除法”。在后面学习最大公因数和最小公倍数时,使用短除法非常简单。有空多练习吧。
哥德巴赫猜想
德国数学家哥德巴赫最先提出:“所有大于2的偶数,都可以表示为两个质数的和”,这就是“哥德巴赫猜想”,被称为“数学王冠上的明珠”。
中国数学家陈景润于1966年证明:“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者可表示为两个质数的乘积。”通常这个结果表示为“1+2”。这是目前解决“哥德巴赫猜想”问题的最佳结果。
我们在平时的学习中,也可以练习将一个大于2的偶数表示成两个质数的和,以提高自己对质数的熟悉程度。
如:12=5+7,18=5+13=7+11,20=7+13,24=5+19=7+17=11+13。
有些数还可以表示成三个质数的和,这时要注意加数的奇偶,注意2是唯一的偶质数。
如:12=2+5+5=2+3+7,18=2+5+11,23=3+7+13=5+5+13=5+7+11。
第三单元长方体和正方体
长方体、正方体是立体形状,长方形、正方形是平面图形,要区分开来。它们都是几何图形。生活中有许多物体的形状可以近似地看成是长方体或正方体。
长方体
定义:长方体是由6个长方形围成的立体图形。特殊情况下,可以有2个相对的面是正方形。
特征:在一个长方体中,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
长、宽、高:相交于一个顶点的三条棱(的长度)分别叫做长方体的长、宽、高。长、宽、高各有4条,分别相互平行且相等。分别两两垂直。
正方体
定义:正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
特征:在一个正方体中,6个面完全相同,12条棱长度相等。
正方体与长方体的联系
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。其它异同点见下表:
注意:
(1)当长方体有两个相对的面是正方形时,另外4个面就一定是完全相同的长方形。
因此,长方体最多有8条棱可以相等。
已知:a=24cm
b=12cm
h=9cm
求:C长T
C长T=4(a+b+h)
=4×(24+12+9)
=180(cm)
答:纸巾盒棱长总和180cm。
(2)对于长方体的公式(面积公式、体积公式等),都可以使其中的长、宽、高相等而推导出相应的正方体公式。
长方体与正方体的棱长总和
已知:a=90m
b=55m
h=20m
求:C长T
C长T=2a+2b+4h
=90×2+55×2+20×4
=370(m)
答:工人叔叔至少需要370m长的彩灯线。
长方体有12条棱,长、宽、高各4条,因此:长方体棱长总和=(长+宽+高)×4,用C表示棱长总和(Circumference,与周长字母相同),用a、b、h分别表示长、宽、高,则字母表达式为C长T=4(a+b+h)。
例,课本P31第1题:纸巾盒长24cm,宽12cm,高9cm,求棱长总和。
例,课本P32第6题:为迎接“五一”国际劳动节,工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯(地面的四边不装)。已知工人俱乐部的长90m,宽55m,高20m,工人叔叔至少需要多长的彩灯线?
已知:a=10cm
求:C正T
C正T=12a
=12×10
=120(cm)
答:它的棱长总和是120cm。
注意:因为,“地面四边不装”,所以这时候的棱长总和不包括地面(也就是底面、下面)的四条棱,而其中又有两条长、两条宽,因此棱长总和是剩下的2条长、2条宽和4条高,棱长总和公式要相应地改变。
正方体有12条相等的棱,因此:正方体棱长总和=棱长×12,用a表示棱长,则字母表达式为C正T=12a。
例,课本P31第2题:棱长为10cm的正方体粉笔盒,棱长总和是多少?
在求长方体、正方体棱长总和(以及后面的面积)时,要注意包含哪几条棱(哪几个面),用相应的公式去计算。
长方体与正方体的表面积
长方体或正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。
因为长方体(或正方体)相对的面完全相同,因此只要算出3个面(上或下、前或后、左或右)再扩大到2倍就可以了。
注意:长方体每个面的面积构成(请理解后记忆)
情况一:假设长面对着我们,则前面(后面)的面积是“长×高”,左面(右面)的面积是“宽×高”,上面(下面)的面积是“长×高”。
情况二:假设宽面对着我们,则前面(后面)的面积是“宽×高”,左面(右面)的面积是“长×高”,上面(下面)的面积是“长×高”。
因此,上、下面(底面)的面积都是“长×宽”,侧面四周都和“高”有关。